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2015-10201-0201
2015 群馬大学 推薦教育学部小論文
数学専攻
易□ 並□ 難□
【1】(1) 空間の 2 つのベクトル a→= (a 1,a 2,a 3) , b →= (b 1,b 2,b 3) のなす角を θ ( 0≦ θ≦π ) とする.このとき,
a1 ⁢b1 +a2 ⁢b2 +a3 ⁢b3 =| a→ | | b→ |⁢ cos⁡θ
が成り立つことを証明せよ.
(2) 実数 a1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 ,b3 において, a1 2+ a22 +a 32≠ 0 , b12 +b2 2+ b32 ≠0 とする.条件 p ,q を次のように定める.
p : a1 ⁢b1 +a2 ⁢b2 +a3 ⁢b3 ) 2=( a12 +a2 2+ a32 )⁢( b12 +b2 2+ b32 )
q : a1 ,a 2 ,a3 は実数 c ( c≠ 0 ) を用いて, a1= c⁢b1 , a2 =c⁢b 2 , a 3=c⁢ b3 と表せる.
このとき, p は q であるための必要十分条件であることを証明せよ.
2015-10201-0202
【2】 a ,b は実数で a ≠0 と定義する.実数 x , y に対して,
x⨁y =x+y+ ba ,x✶ y= 1a⁢ (a ⁢x+b )⁢( a⁢y+b )- ba
と定義する.また,実数 x1 ,x 2 ,⋯ , xn , ⋯ ( n=3 ,4 , ⋯ ) に対して,
a1 ⨁x2 ⨁⋯ ⨁xn =( x1⨁ x2⨁ ⋯⨁x n-1 )⨁ xn ,x 1✶x 2✶⋯ ✶xn =(x 1✶x 2✶⋯ ✶x n-1 )✶ xn とする.以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x)= a⁢x+ b とすると, f⁡( x⨁y )=f ⁡(x )+f ⁡(y ) ,f⁡ (x✶ y)= f⁡( x)⁢ f⁡( y) が成り立つことを示せ.
(2) 1-b a⨁ 2 -ba ⨁ 3-b a⨁ 4 -ba ⨁ 5-b a⨁ 6 -ba =2 かつ 1-b a✶ 2 -ba ✶ 3-b a✶ 4 -ba ✶ 5-b a✶ 6 -ba =235 となるように a , b の値を求めよ.