2015　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　$a$をある実数とする．$f(x)$は$x$の$2$次関数であり，関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_a^x}f(t)dt$

で定義する．関数$f(x)\text{，}F(x)$が条件

$f(a)=0\text{，}F(2a)=-a^3\text{，}F(3a)=-3a^3$

をみたすとき，$f(x)$および$F(x)$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行であるとき，等式

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}}=1$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行でないとき，等式

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}}=1$

が成り立つことを示せ．

【３】　数列$\{a_n\}$は初項が$4$で，$A\text{，}B$をある定数として

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{A{a}_n+B}{a_n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式

$a_n{b}_n-a_n+b_n+3=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす．このとき下記の設問に答えよ．

(1)　$A\text{，}B$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　百の位が$X$で十の位が$Y$で一の位が$Z$である三けたの数を$(XYZ)$で表すことにする．サイコロを投げるとき，$1$から$6$までの$6$通りのうちいずれかの目が出て，どの目が出ることも同様に確からしいとする．このサイコロを$3$回投げ，出た目の数を順に$A\text{，}B\text{，}C$とする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)　$(ABC)$が$4$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$(ABC)\text{，}(ACB)\text{，}(BAC)\text{，}(BCA)\text{，}(CAB)\text{，}(CBA)$のいずれもが$4$の倍数にならない確率を求めよ．