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2015-10221-0201
2015 埼玉大学 前期
理(数学)学部
易□ 並□ 難□
【1】 c は正の整数とする.数列 a1 ,a 2 ,a 3 ,⋯ は a1= 1 ,a 2=c であり,さらに漸化式
an +2= an+ 1+ an ( n =1 ,2 , 3 ,⋯ )
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) n=1 , 2 ,3 , ⋯ に対して, an は正の整数であり,かつ, an と a n+1 の最大公約数は 1 であることを示せ.
(2) ( -1) n⁢ ( an+ 12 -a n+2 ⁢an ) は n によらず一定の値であることを示せ.
(3) c≧2 とし, bn = an+ 1a n とおくと
{ bn +1> bn ( n が偶数のとき) bn +1 <bn ( が奇数のとき)
が成り立つことを示せ.
2015-10221-0202
理(数学),工学部共通
【2】 xy 平面上の点 P の x 座標および y 座標がともに整数であるとき, P を格子点とよぶ.また,自然数 n に対して,連立不等式
{ 0≦x ≦n 0≦y≦ n
の表す領域を R とする. R 内の 4 つの格子点を頂点とする正方形の個数を q n とする.次の問いに答えよ.
(1) xy 平面上の 2 点 A ( a,0 ), B (0 ,b) ( a>0 , b>0 ) を結ぶ線分を 1 辺とする正方形 ABCD を考える.点 C ,D が第 1 象限に含まれるとき, C , D の座標を求めよ.
(2) k は自然数とする. 4 点 ( 0,0 ), (k ,0) ,( k,k) ,( 0,k ) を頂点とする正方形を E とする. E の辺上の格子点( E の頂点を含む)を 4 つの頂点とする正方形の個数を求めよ.
(3) q1 , q2 , q3 を求めよ.
(4) qn を求めよ.
2015-10221-0203
【3】 f⁡( x)= x4- 2⁢x3 とし,曲線 C :y=f ⁡(x ) 上の点 P ( α,f⁡ (α )) における接線を l とする.次の問いに答えよ.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) α=1 のとき, l と C との P 以外の共有点をすべて求めよ.
(3) l と C が P 以外に 2 つの共有点を持つような α の範囲を求めよ.
(4) l と C が P 以外の共有点 ( β,f⁡ (β ) ), ( γ,f⁡ (γ )) ( β<γ ) を持つとする.このとき, γ-β が最大となる α の値を求めよ.
2015-10221-0204
工学部【4】の類題
【4】 n は 2 以上の自然数とし,
f⁡( θ)= cosn-1 ⁡θ ⁢sinn -1⁡ θcos 2⁢n ⁡θ+ sin2⁢ n⁡θ
とする.次の問いに答えよ.
(1) t=tan n⁡θ と変数変換することにより, ∫ 0π4 f⁡ (θ )⁢d θ を求めよ.
(2) 0≦θ ≦ π2 の範囲で f ⁡(θ ) の最大値および最小値を求めよ.
2015-10221-0205
工学部
【1】 c は実数とする.数列 a1 ,a 2 ,a 3 ,⋯ は a1=1 , a2 =c であり,さらに漸化式
an+ 2= an+1 +a n ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
(1) a3 =a2 2 が成り立つような c の値を求めよ.
(2) c が(1)で求めた値のとき,数列 a1 ,a 2 ,a 3 ,⋯ が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ.
(3) (1)で求めた c の値のうち, limn →∞ an =0 となるものを求めよ.
(4) c が(3)で求めた値のとき, ∑n= 1∞ an を求めよ.
2015-10221-0206
理学部数学科【4】の類題
【4】 関数 f ⁡(θ )= cos ⁡θ⁢sin ⁡θ cos4⁡ θ+sin 4⁡θ について,次の問いに答えよ.
(1) t=tan 2⁡θ と変数変換することにより, ∫ 0π2 f⁡ (θ )⁢d θ を求めよ.
(2) f⁡( θ) の最大値および最小値を求めよ.