2015 埼玉大学 前期(理,工学部)MathJax

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2015 埼玉大学 前期

理(数学)学部

易□ 並□ 難□

【1】  c は正の整数とする.数列 a1 a 2 a 3 a1= 1 a 2=c であり,さらに漸化式

an +2= an+ 1+ an n =1 2 3

を満たすとする.次の問いに答えよ.

(1)  n=1 2 3 に対して, an は正の整数であり,かつ, an a n+1 の最大公約数は 1 であることを示せ.

(2)  ( -1) n ( an+ 12 -a n+2 an ) n によらず一定の値であることを示せ.

(3)  c2 とし, bn = an+ 1a n とおくと

{ bn +1> bn n が偶数のとき) bn +1 <bn が奇数のとき)

が成り立つことを示せ.

2015 埼玉大学 前期

理(数学),工学部共通

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の点 P x 座標および y 座標がともに整数であるとき, P を格子点とよぶ.また,自然数 n に対して,連立不等式

{ 0x n 0y n

の表す領域を R とする. R 内の 4 つの格子点を頂点とする正方形の個数を q n とする.次の問いに答えよ.

(1)  xy 平面上の 2 A ( a,0 ) B (0 ,b) a>0 b>0 を結ぶ線分を 1 辺とする正方形 ABCD を考える.点 C D が第 1 象限に含まれるとき, C D の座標を求めよ.

(2)  k は自然数とする. 4 ( 0,0 ) (k ,0) ( k,k) ( 0,k ) を頂点とする正方形を E とする. E の辺上の格子点( E の頂点を含む)を 4 つの頂点とする正方形の個数を求めよ.

(3)  q1 q2 q3 を求めよ.

(4)  qn を求めよ.

2015 埼玉大学 前期

理(数学),工学部共通

易□ 並□ 難□

【3】  f( x)= x4- 2x3 とし,曲線 C y=f (x ) 上の点 P ( α,f (α )) における接線を l とする.次の問いに答えよ.

(1)  l の方程式を求めよ.

(2)  α=1 のとき, l C との P 以外の共有点をすべて求めよ.

(3)  l C P 以外に 2 つの共有点を持つような α の範囲を求めよ.

(4)  l C P 以外の共有点 ( β,f (β ) ) ( γ,f (γ )) β<γ を持つとする.このとき, γ-β が最大となる α の値を求めよ.

2015 埼玉大学 前期

理(数学)学部

工学部【4】の類題

易□ 並□ 難□

【4】  n 2 以上の自然数とし,

f( θ)= cosn-1 θ sinn -1 θcos 2n θ+ sin2 nθ

とする.次の問いに答えよ.

(1)  t=tan nθ と変数変換することにより, 0π4 f (θ )d θ を求めよ.

(2)  0θ π2 の範囲で f (θ ) の最大値および最小値を求めよ.

2015 埼玉大学 前期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】  c は実数とする.数列 a1 a 2 a 3 a1=1 a2 =c であり,さらに漸化式

an+ 2= an+1 +a n n=1 2 3

を満たすとする.次の問いに答えよ.

(1)  a3 =a2 2 が成り立つような c の値を求めよ.

(2)  c が(1)で求めた値のとき,数列 a1 a 2 a 3 が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ.

(3) (1)で求めた c の値のうち, limn an =0 となるものを求めよ.

(4)  c が(3)で求めた値のとき, n= 1 an を求めよ.

2015 埼玉大学 前期

工学部

理学部数学科【4】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (θ )= cos θsin θ cos4 θ+sin 4θ について,次の問いに答えよ.

(1)  t=tan 2θ と変数変換することにより, 0π2 f (θ )d θ を求めよ.

(2)  f( θ) の最大値および最小値を求めよ.

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