2015 埼玉大学 後期(理,工学部)

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2015 埼玉大学 後期

理,工学部

易□ 並□ 難□

【1】 整式 f (x ) に対して,整式 g (x ) g (x )=f ( x2- 2) により定める.次の問いに答えよ.

(1)  f( x)= x-2 のとき, g( x) を求めよ.

(2)  a は実数とし, f( x)= x-a とする. g( x) f (x ) で割り切れるような a の値をすべて求めよ.

(3)  a b a <b を満たす実数とし, f( x)= (x- a) (x- b) とする. g( x) f (x ) で割り切れるような a b の組をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とし, xy 平面において, 3 つの直線

l1 x-2 y=0

l2 (a +1) x-2 ay =0

l3 ax -2( a-1) y-2 =0

を考える. l1 l 2 の交点を P とし, l1 l 3 の交点を Q とし, l2 l 3 の交点を R とする.次の問いに答えよ.

(1)  P Q R の座標を求めよ.

(2) 三角形 PQR の面積を求めよ.

(3)  2 つの辺の長さの和 PR +RQ を最小にする a の値と,そのときの PR +RQ を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 袋 A には白玉が 5 個,袋 B には白玉が 3 個と赤玉が 2 個入っている. 1 回の操作で,袋 A B から無作為に 1 個ずつ玉を取り出し,交換してから袋に戻す. n 回の操作の後,袋 A に入っている赤玉の個数が 0 個, 1 個, 2 個である確率をそれぞれ pn q n r n とおく.このとき pn+ qn+ rn =1 である.次の問いに答えよ.

(1)  p2 q2 r2 を求めよ.

(2)  qn+ 1 q n を用いて表せ.

(3)  qn を求めよ.

(4)  sn =pn -rn とする. sn+ 1 s n を用いて表せ.

(5)  pn r n を求めよ.

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【4】  e は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.

(1) 自然数 n に対して

In = 1e ( logt )n dt

とおくと,

In +1= e-( n+1 ) In

が成り立つことを示し,さらに I 4 を求めよ.

(2)  xy 平面において, 2 つの曲線

C1 y= ex x 0

C2 y=( e-1) x+ 1 x0

を考える.曲線 C1 C2 ( 0,1 ) および ( 1,e ) を共有点として持つことを示し,さらにこの 2 点以外には共有点を持たないことを示せ.

(3) (2)の曲線 C1 C 2 で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

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