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2015-10221-0301
2015 埼玉大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 整式 f ⁡(x ) に対して,整式 g ⁡(x ) を g ⁡(x )=f ⁡( x2- 2) により定める.次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x)= x-2 のとき, g⁡( x) を求めよ.
(2) a は実数とし, f⁡( x)= x-a とする. g⁡( x) が f ⁡(x ) で割り切れるような a の値をすべて求めよ.
(3) a ,b は a <b を満たす実数とし, f⁡( x)= (x- a)⁢ (x- b) とする. g⁡( x) が f ⁡(x ) で割り切れるような a , b の組をすべて求めよ.
2015-10221-0302
【2】 a を実数とし, xy 平面において, 3 つの直線
l1 :x-2 ⁢y=0
l2 :(a +1) ⁢x-2 ⁢a⁢y =0
l3 :a⁢x -2⁢( a-1) ⁢y-2 =0
を考える. l1 と l 2 の交点を P とし, l1 と l 3 の交点を Q とし, l2 と l 3 の交点を R とする.次の問いに答えよ.
(1) P , Q , R の座標を求めよ.
(2) 三角形 PQR の面積を求めよ.
(3) 2 つの辺の長さの和 PR +RQ を最小にする a の値と,そのときの PR +RQ を求めよ.
2015-10221-0303
【3】 袋 A には白玉が 5 個,袋 B には白玉が 3 個と赤玉が 2 個入っている. 1 回の操作で,袋 A ,B から無作為に 1 個ずつ玉を取り出し,交換してから袋に戻す. n 回の操作の後,袋 A に入っている赤玉の個数が 0 個, 1 個, 2 個である確率をそれぞれ pn ,q n ,r n とおく.このとき pn+ qn+ rn =1 である.次の問いに答えよ.
(1) p2 , q2 , r2 を求めよ.
(2) qn+ 1 を q n を用いて表せ.
(3) qn を求めよ.
(4) sn =pn -rn とする. sn+ 1 を s n を用いて表せ.
(5) pn ,r n を求めよ.
2015-10221-0304
【4】 e は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1) 自然数 n に対して
In = ∫1e ( log⁡t )n ⁢dt
とおくと,
In +1= e-( n+1 )⁢ In
が成り立つことを示し,さらに I 4 を求めよ.
(2) xy 平面において, 2 つの曲線
C1 :y= ex ( x≧ 0)
C2: y=( e-1) ⁢x+ 1 ( x≧0 )
を考える.曲線 C1 ,C2 は ( 0,1 ) および ( 1,e ) を共有点として持つことを示し,さらにこの 2 点以外には共有点を持たないことを示せ.
(3) (2)の曲線 C1 ,C 2 で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.