2015　千葉大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．$x$に関する方程式

$|x^2-6x-|x-6||+x=a$

の実数解の個数を求めよ．

【２】　右図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$▵\mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下す．

　$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を用いて$▵\mathrm{PFQ}$の面積を表せ．

(2)　$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．

(3)　$\mathrm{BK}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}}$以下であることを示せ．

【３】　$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

　このとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【４】　さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．

　ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．

【５】　$m$を実数とする．$x$に関する方程式

$x^3-3x-|x-m|=0$

の実数解の個数を求めよ．

【６】　$k\text{，}m\text{，}n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．

(2)　$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．

【７】　$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha \text{，}\beta$とする．数列$\{a_n\}$を

$a_n={\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+2}=b{a}_{n+1}+c{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b\text{，}c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

【８】　コインを$n$回投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．

・コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．

・コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．

・コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．

　例えば，コインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．

　コインの表と裏が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．

(2)　$n\leqq m\leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．

【９】　双曲線$x^2-y^2=1\cdots \text{①}$の漸近線$y=x\cdots \text{②}$上の点${\mathrm{P}}_0\text{：}(a_0,a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$\text{①}$の接線を考え，接点を${\mathrm{Q}}_1$とする．${\mathrm{Q}}_1$を通り漸近線$\text{②}$と垂直に交わる直線と，漸近線$\text{②}$との交点を${\mathrm{P}}_1\text{：}(a_1,a_1)$とする．次に${\mathrm{P}}_1$を通る双曲線$\text{①}$の接線の接点を${\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$を通り漸近線$\text{②}$と垂直に交わる直線と，漸近線$\text{②}$との交点を${\mathrm{P}}_2\text{：}(a_2,a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点${\mathrm{P}}_n\text{：}(a_n,a_n)\text{，}{\mathrm{Q}}_n$を定義していく．

(1)　${\mathrm{Q}}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．

(2)　$a_n$を$a_0$を用いて表せ．

(3)　$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n-1}$の面積を求めよ．

【10】　$0$以上の整数$n$に対して，整式$T_n(x)$を

$T_0(x)=1\text{，}{T}_1(x)=x\text{，}{T}_n(x)=2x{T}_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$0$以上の任意の整数$n$に対して

$\cos (n\theta )=T_n(\cos \theta )$

となることを示せ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{T}_n(x)dx$

の値を求めよ．

【11】　$c$を実数とし，曲線$y=x^2+c\cdots \text{①}$と曲線$y=\log x\cdots \text{②}$の共通接線を考える．

(1)　共通接線の本数を，実数$c$の値によって答えよ．

(2)　共通接線が$1$本であるとき，その接線と$\text{①，}\text{②}$それぞれとの接点を求めよ．

(3)　共通接線が$1$本であるとき，$\text{①，}\text{②}$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【12】　平面上に$2$つの円

$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1\text{，}{C}_2\text{：}{(x+{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

があり，点$(-1,0)$で接している．

　点${\mathrm{P}}_1$は$C_1$上を反時計回りに一定の速さで動き，点${\mathrm{P}}_2$は$C_2$上を半時計回りに一定の速さで動く．二点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$はそれぞれ点$(1,0)$および点$(-1,0)$を時刻$0$に同時に出発する．${\mathrm{P}}_1$は$C_1$を一周して時刻$2\pi$に点$(1,0)$に戻り，${\mathrm{P}}_2$は$C_2$を二週して時刻$2\pi$に点$(-1,0)$に戻るものとする．${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．

　${\mathrm{P}}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【13】　関数$f(x)=|x+2\sin (x+a)+b|$の$0\leqq x\leqq 2\pi$での最大値と最小値の差は，定数$a\text{，}b$によらず常に$\pi$以上で，かつ$({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2\sqrt{3})$以下であることを示せ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部（算数科選修，技術科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　文学部（行動科学科），教育学部（情報教育分野），法経学部，園芸学部，

　先進科学プログラム　（物理化学・生命化学，人間科学）

　　【３】，【４】，【５】，【６】

教育学部（数学科教育分野）　【２】，【３】，【４】，【５】， 【６】，【７】

数学I数学II数学III数学A数学B

理学部（物理，化学，生物，地球科学科），薬学部，工学部

先進科学プログラム（物理，電気電子，ナノサイエンス，画像，情報画像）

　【７】，【８】，【９】，【10】，【11】

医学部【７】，【８】，【９】，【12】，【13】

理学部（数学・情報数理学科）　【６】，【７】， 【８】，【９】，【11】，【12】