2015　東京大学　前期MathJax

【１】　以下の命題$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$　$n$が正の整数ならば，${\displaystyle \frac{n^3}{26}}+100\geqq n^2$が成り立つ．

命題$\mathrm{B}$　整数$n\text{，}m\text{，}l$が$5n+5m+3l=1$をみたすならば，$10nm+3ml+3nl<0$が成り立つ．

【２】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1)$を考える．また，$\mathrm{P}$を座標平面上の点とし，その$x$座標の絶対値は$1$以下であるとする．次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす点$\mathrm{P}$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

(ⅰ)　頂点の$x$座標の絶対値が$1$以上の$2$次関数のグラフで，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$をすべて通るものがある．

(ⅱ)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$は同一直線上にある．

【３】　$l$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)で定まる円$C_1\text{，}{C}_2$を考える．

(ⅰ)　円$C_1\text{，}{C}_2$は$2$つの不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$で定まる領域に含まれる．

(ⅱ)　円$C_1\text{，}{C}_2$は直線$l$と同一点で接する．

(ⅲ)　円$C_1$は$x$軸と点$(1,0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．

　円$C_1$の半径を$r_1\text{，}$円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$l$の方程式と，その最小値を求めよ．

【４】　投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインを$1$枚用意し，次のように左から順に文字を書く．

　コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{A}\mathrm{A}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{A}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．

　たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，

$\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{B}$

となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}\text{，}5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)　$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

【１】　正の実数$a$に対して，座標平面上で次の放物線を考える．

$C\text{：}y=a{x}^2+{\displaystyle \frac{1-4a^2}{4a}}$

が正の実数全体を動くとき，$C$の通過する領域を図示せよ．

【２】　どの目も出る確率が${\displaystyle \frac{1}{6}}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．

　さいころを投げ，出た目が$1\text{，}2\text{，}3$のときは文字列$\mathrm{A}\mathrm{A}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{A}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．

　たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2\text{，}5\text{，}\mathrm{6}\text{，}3\text{，}4$であったとすると，得られる文字列は

$\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{B}$

となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}\text{，}5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)　$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．

　座標平面上の$2$つの曲線$y=a{x}^p\text{（}x>0\text{）}$と$y=\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．

　以下の問いに答えよ．必要であれば，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^p}{\log x}}=\infty$を証明なしに用いてよい．

(1)　$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．

(2)　この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．

(3)　(2)で得られる立体の体積が$2\pi$になるときの$p$の値を求めよ．

【４】　数列$\{p_n\}$を次のように定める．

$p_1=1\text{，}{p}_2=2\text{，}{p}_{n+2}={\displaystyle \frac{{p_{n+1}}^2+1}{p_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　${\displaystyle \frac{{p_{n+1}}^2+{p_n}^2+1}{p_{n+1}{p}_n}}$が$n$によらないことを示せ．

(2)　すべての$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対し，$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ．

(3)　数列$\{q_n\}$を次のように定める．

$q_1=1\text{，}{q}_2=1\text{，}{q}_{n+2}=q_{n+1}+q_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$p_n=q_{2n-1}$を示せ．

【５】　$m$を$2015$以下の正の整数とする．${}_{2015}C_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ．

【６】　$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)$を次のように定める．

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\cos (\pi x)+1}{2}}& \text{（}\left|x\right|\leqq 1\text{のとき）}\\ 0& \text{（}\left|x\right|>1\text{のとき）}\end{array}$

$f(x)$を連続な関数とし，$p\text{，}q$を実数とする．$\left|x\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$をみたす$x$に対して$p\leqq f(x)\leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．

$p\leqq n{\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(nx)f(x)dx\leqq q$

(2)　関数$h(x)$を次のように定める．

$h(x)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin (\pi x)& \text{（}|x|\leqq 1\text{のとき）}\\ 0& \text{（}\left|x\right|>1\text{のとき）}\end{array}$

このとき，次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\displaystyle {\int }_{-1}^1}h(nx)\log (1+e^{x+1})dx$