2015　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，$E_n(m)=m{P}_n(m)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$P_3(2)\text{，}{P}_3(3)\text{，}{P}_3(4)$を求めよ．

(2)　$E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対し，$E_n(m)>E_n(m+1)$を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

【２】　実数$a\text{，}b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1\leqq x\leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$b\geqq 0$のとき，$M$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．

$\{\begin{array}{l}x=|\cos t|{\cos }^{3}t\\ y=|\sin t|{\sin }^{3}t\end{array}\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　次の条件(＊)を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

(＊)　第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．

(2)　点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と(1)の定点$F$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．

(3)　(2)の領域を$x$軸の回りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】　$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，$E_n(m)=m{P}_n(m)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$P_3(2)\text{，}{P}_3(3)\text{，}{P}_3(4)$を求めよ．

(2)　$E_{10}(3)\text{，}{E}_{10}(4)\text{，}{E}_{10}(5)$の中で最大のものはどれか．

(3)　自然数$n$に対し，$E_n(m)>E_n(m+1)$を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

【２】　実数$a\text{，}b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1\leqq x\leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}b=1$のとき，$M$を求めよ．

(3)　$M=4\text{，}b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．