2015　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$を

${\mathrm{P}}_n(\cos {\displaystyle \frac{5(n-1)}{6}}\pi ,\cos {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\pi ,\cos {\displaystyle \frac{n-1}{6}}\pi )$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

で定める．$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を

$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}\right|}}\text{，}\overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}\right|}}\text{，}\overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_3}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_3}\right|}}$

で定める．次の問いに答えよ．

❲1❳　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$の成分表示を求めよ．また内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．

❲2❳　$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}+3t\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$

で定まる点とする．ただし，$t$は実数である．$\mathrm{O}$を通り平面$\mathrm{DEF}$に垂直な直線と平面$\mathrm{DEF}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}$

と表したとき，実数$u\text{，}$$v\text{，}$$w$を$t$を用いて表せ．

❲3❳　$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{H}$を❲2❳で定めた点とする．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$とおく．$f(t)$を$t$の式で表せ．

❲4❳　❲3❳で求めた$t$の関数$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．また最大値を与える$t$と最小値を与える$t$を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$つの曲線

$\begin{array}{ll}{C}_1\text{：}y=a\sin x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ C_2\text{：}y=e^x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

が共有点$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{Q}$において共通の接線をもつ．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

❲1❳　$\pi <r<2\pi$のとき，$a$の値を求めよ．

❲2❳　$a$が❲1❳で求めた値のとき，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

❲3❳　$0<r<\pi$のとき，$a$の値を求めよ．

❲4❳　$a$が❲3❳で求めた値のとき，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．