2015　東京工業大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{4a_n-9}{a_n-2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．また数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{1+2+\cdots +n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　すべての$n$に対して，不等式$b_n\leqq 3+{\displaystyle \frac{4}{n+1}}$が成り立つことを示せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を${\mathrm{H}}^{\prime }$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{\prime }}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$および$s\text{，}$$t$を$x$の式で表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．

【３】　$a>0$とする．曲線$y=e^{-x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=a$で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$A$とする．

(1)　$A$の体積$V$を求めよ．

(2)　点$(t,0)\text{（}-a\leqq t\leqq a\text{）}$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式

$S(t)\leqq {\displaystyle {\int }_{-a}^a}{e}^{-(s^2+t^2)}dt$

を示せ．

(3)　不等式

$\sqrt{\pi (1-e^{-a^2})}={\displaystyle {\int }_{-a}^a}{e}^{-x^2}dx$

を示せ．

【４】　$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t\text{（}t>0\text{）}$における座標$(x,y)$が

$x=t^2\cos t\text{，}y=t^2\sin t$

で表されている．原点を$\mathrm{O}$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき，極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t\text{（}t>0\text{）}$のうち，最も小さいものを$t_1\text{，}$次に小さいものを$t_2$とする．このとき，不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ．

【５】　$n$を相異なる素数$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_n$$\text{（}k\geqq 1\text{）}$の積とする．$a\text{，}$$b$を$n$の約数とするとき，$a\text{，}$$b$の最大公約数を$G\text{，}$最小公倍数を$L$とし，

$f(a,b)={\displaystyle \frac{L}{G}}$

とする．

(1)　$f(a,b)$が$n$の約数であることを示せ．

(2)　$f(a,b)=b$ならば，$a=1$であることを示せ．

(3)　$m$を自然数とするとき，$m$の約数であるような素数の個数を$S(m)$とする．$S(f(a,b))+S(a)+S(b)$が偶数であることを示せ．