2015　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　座標平面上に点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,2)\text{，}\mathrm{D}(0,1)$をとる．直線$x=1$を$l\text{，}$直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$l$の交点を$\mathrm{Q}(1,u)\text{，}$直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$u\text{，}v$を$t$を用いて表せ．

(2)　$u\text{，}v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

【２】(1)　正$6$角形の$6$つの頂点を$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i\text{，}j\text{，}k$とする．頂点$i\text{，}j\text{，}k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．

(2)　正$n$角形の$n$個の頂点を$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$とする．番号$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i\text{，}j\text{，}k$とする．直線$i\text{，}j\text{，}k$が直角$3$角形をなす確率を求めよ．

【３】　座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C\text{：}y=f(x)$がある．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$m$を定数とする．点$(0,1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．

(3)　直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2\leqq y\leqq f(x)$かつ$0\leqq x\leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．

【２】(1)　正$6$角形の$6$つの頂点を$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i\text{，}j\text{，}k$とする．頂点$i\text{，}j\text{，}k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．

(2)　正$n$角形の$n$個の頂点を$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$とする．番号$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i\text{，}j\text{，}k$とする．直線$i\text{，}j\text{，}k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率を求めよ．

【３】　$x>0$で定義された曲線$y=\log x$を$C$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to 0}{\lim }x\log x=0$を用いてよい．$a$を定数とする．

(1)　点$(a,0)$から$C$に何本の接線が引けるか調べよ．

(2)　$C$の法線で点$(a,0)$を通るものがちょうど$1$本あることを示せ．

(3)　原点$(0,0)$を通る$C$の接線，$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．