2015　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　$f(x)\text{，}g(t)$を求めよ．

(2)　$g(t)$の最大値を求めよ．

(3)　$C$で囲まれた図形の$y\geqq 0$の部分の面積を求めよ．

(1)　$n$を自然数とする．$S(n,3n)$を求め，この値は$n$によらないことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }S(n,n+\sqrt{n})=0$が成り立つことを示せ．

(3)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}S(n,n+k)$

$\sqrt{n}\sqrt{a^2+b^2}\leqq a+b\leqq \sqrt{m}\sqrt{a^2+b^2}$

が，すべての負でない実数$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$に対して成り立つような自然数$m$と$n$の範囲を求めよ．

(2)　$m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とする．不等式

${\displaystyle \frac{m^{n+1}-1}{n+1}}>{\displaystyle \frac{m^n-1}{n}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$m$を$3$以上の自然数，$n$を自然数とするとき，次の不等式

${}_{mn}C_n\geqq m^n>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}{m}^i$

が成り立つことを示せ．

(1)　$\mathrm{X}$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする．$1$から$9$のそれぞれに確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で赤か青の色を付けるとき，$\mathrm{X<mspace\; width=".2em"></mspace>}$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ．

(2)　一般に，ある試行における$3$つの事象$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$について，

$P(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\cup \mathrm{C})\leqq P(\mathrm{A})+P(\mathrm{B})+P(\mathrm{C})$

が成り立つことを示せ．ここで$P(\mathrm{A})$は事象$\mathrm{A}$が起こる確率である．

(3)　$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある．それを$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$とする．$1$から$9$のそれぞれに確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$のどれにも両方の色が含まれる番号が$0$ではないことを示せ．ただし，$\mathrm{X}\cap \mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Y}\cap \mathrm{Z}\text{，}\mathrm{Z}\cap \mathrm{X}$は空集合とは限らない．