2015　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=x+\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

に対して，曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$({\displaystyle \frac{\pi }{4}},f({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right)$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C\text{，}y$軸および接線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin 2xdx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅴ)　曲線$C\text{，}x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　関数$f(t)\text{，}g(t)$を次のように定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．

$f(t)=(t-1)e^{-t}\text{，}g(t)={(t-1)}^2{e}^{-x}$

$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて

$x=f(t)\text{，}y=g(t)\text{（}1\leqq t\leqq 3\text{）}$

と表されるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t\leqq \beta$のとき，$f(t)\geqq g(t)$であることを示せ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(t)\text{，}{g}^{\prime }(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t\leqq \beta$において，関数$f(t)\text{，}g(t)$がともに単調に増加することを示せ．

(ⅲ)　次の定積分をそれぞれ求めよ．

$I_1={\displaystyle {\int }_0^1}u{e}^{-2u}du\text{，}{I}_2={\displaystyle {\int }_0^1}{u}^2{e}^{-2u}du\text{，}{I}_3={\displaystyle {\int }_0^1}{u}^3{e}^{-2u}du$

(ⅳ)　曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　次の関数$f(x)\text{，}g(x)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．

$f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}\text{，}g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$

(ⅰ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．

(ⅲ)　次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．

$m\sqrt{x^2+1}=x+1$

(ⅳ)　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)\text{，}x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅴ)　図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1\text{，}$公差が正の定数$d$の等差数列とする．このとき，自然数の定数$p$を用いて

$b_n=a_n{a}_{n+p}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定まる数列$\{b_n\}$について考える．ただし，$a_n{a}_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ．さらに，数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d\text{，}p$を用いて表せ．

(ⅱ)　ある定数$C$を用いて

${\displaystyle \frac{1}{b_n}}=C({\displaystyle \frac{1}{a_n}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{n+p}}})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と表すことができる．このとき，$C$を$d\text{，}p$を用いて表せ．

　以下の問いでは，数列$\{b_n\}$が初項から順に

$b_1=7\text{，}{b}_2=40\text{，}{b}_3=91\text{，}\cdots$

となる場合を考える．

(ⅲ)　定数$d\text{，}p$および数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(ⅳ)　数列$\{b_n\}$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．