2015　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2x^2+1}}{x+1}}$

で定義する．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　次の極限を求めよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{n\to -\infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -1+1}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -1-0}{\lim }f(x)$

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(ⅳ)　次の等式が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

${\{f(x)\}}^2=a+{\displaystyle \frac{b}{x+1}}+{\displaystyle \frac{c}{{(x+1)}^2}}$

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$と直線$y=1$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$C_1\text{：}y=\tan x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})\text{，}{C}_2\text{：}y=k\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

について，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(ⅰ)　曲線$C_1\text{，}x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C_1$と$C_2$が$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

以下では，$k$は(ⅱ)で求めた範囲にあるとする．このとき，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$と直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で囲まれた$2$つの部分について，左側の面積を$S_1$とし，右側の面積を$S_2$とする．

(ⅲ)　$S_1-S_2$を$k$の式で表せ．

(ⅳ)　$S_1$を$k$の式で表せ．

(ⅴ)　$S_1+S_2$を最小にする$k$の値を求めよ．

$f(x)=a\log x-{(\log x)}^2$

で定義する．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表し，$e$はその底とする．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　点$(e^a,f(e^a))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$a$の値を定めよ．

以下では，$a$は(ⅱ)で定めた値とする．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．

(ⅳ)　曲線$y=f(x)$上の点$(e,f(e))$における接線を$l_1$とし，変曲点$(e^a,f(e^a))$における接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の方程式を求めよ．

(ⅴ)　不定積分${\displaystyle \int }\log xdx\text{，}{\displaystyle \int }{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

(ⅵ)　曲線$y=f(x)$と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a_{n+1}=3-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，この数列に対して，方程式

$x=3-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

を考え，その$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．数列$\{a_n\}$の初項$a_1=c$が$c>\alpha$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，解答する際に$\alpha \text{，}\beta$を用いてよい．

(ⅰ)　$4$つの数$0\text{，}1\text{，}\alpha \text{，}\beta$を小さい順に並べよ．

(ⅱ)　$a_1<a_2$となる定数$c$の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$c$が(ⅱ)で求めた範囲にあるとき，$0<a_n<a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(ⅳ)　$c\geqq \beta$のとき，$a_n\geqq \beta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(ⅴ)　等式

$a_{n+1}-\beta ={\displaystyle \frac{a_n-\beta }{a_n\beta }}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．さらに，これを用いて，$c>\alpha$のとき，

$|a_{n+1}-\beta |\leqq r|a_n-\beta |\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす定数$r\text{（}0<r<1\text{）}$が存在することを示せ．

(ⅵ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．