2015　一橋大学　後期MathJax

【１】　$x\text{，}y\text{，}z$を整数とする．

(1)　$y\ne 0$かつ$yz\ne -1$のとき，$|y+{\displaystyle \frac{1}{z}}|$の最小値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{x+{\displaystyle \frac{1}{y+{\displaystyle \frac{1}{z}}}}}}={\displaystyle \frac{9}{11}}$を満たす$x\text{，}y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

【２】　$p\text{，}q$を実数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-px+108q$のグラフ$y=f(x)$が直線$12x+4y+9=0$と接している．$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの整数解を持つならば，$q$は$0$以上の整数であることを証明せよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人があるゲームで対戦する．$1$回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}+a$で，$\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}-a$である．ただし$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$である．先に$3$ゲーム買った方を優勝とする．優勝者が決まるまでにちょうど$3$回，$4$回，$5$回のゲームが行われる確率をそれぞれ$p_3\text{，}{p}_4\text{，}{p}_5$とする．以下，$b=a^2$とする．

(1)　$p_3\text{，}{p}_4\text{，}{p}_5$をそれぞれ$b$を用いて表せ．

(2)　$p_3>p_4$となる$b$の範囲を求めよ．

(3)　$p_4>p_5$となる$b$の範囲を求めよ．

【４】　$0<a<1$とする．$xy$平面において，点$(a,0)$を中心とする半径$1$の円を$C\text{，}$点$(-a,0)$を中心とする半径$1$の円を$D$とする．次の条件を満たす直線$l$の方程式を求めよ．

[条件]　直線$l$は，円$C$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わり，円$D$と$2$点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$で交わる．さらに線分$\mathrm{PQ}$の中点は円$D$上にあり，線分$\mathrm{RS}$の中点は円$C$上にある．

【５】　$a$を正の定数とし，$f(x)=x^3-x\text{，}g(x)=x^3-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}x$とする．曲線$y=f(x)$上に点$\mathrm{A}(a,f(a))$と点$\mathrm{P}(s,f(s))\text{（}0<s<a\text{）}$があり，曲線$y=g(x)$上に点$\mathrm{B}(a,g(a))$と点$\mathrm{Q}(t,g(t))\text{（}0<t<a\text{）}$がある．原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$▵\mathrm{OAP}$の面積を最大にする$s$および$▵\mathrm{OBQ}$の面積を最大にする$t$を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$s\text{，}t$に対して，$▵\mathrm{OAP}$と$▵\mathrm{OBQ}$が原点$\mathrm{O}$以外に共有点をもたないような$a$の範囲を求めよ．

【６】　$a\text{，}b$を異なる正の実数とする．不等式${\left({\displaystyle \frac{1+a}{1+b}}\right)}^{\frac{1}{a-b}}<e$を示せ．