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2015-10280-0201
2015 東京海洋大学 前期海洋工学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 ▵OAB に対して,辺 OA の中点を L , 辺 AB の中点を M , 線分 OM を 1 :2 に内分する点を P とする.また,直線 OB と直線 AP の交点を N , 直線 OM と直線 BL の交点を Q , 直線 AN と直線 BL の交点を R とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ とおく.
(1) OP→ および ON → を a→ ,b → を用いて表せ.
(2) OQ→ および OR → を a→ , b→ を用いて表せ.
(3) 線分の長さの比 BQ :QR:RL を求めよ.
(4) ▵OAB の面積を S1 ,▵ PQR の面積を S 2 とするとき, S 2S1 を求めよ.
2015-10280-0202
【2】 O を原点とする座標平面上に放物線 C :y= x2 と点 P (a ,b) (ただし, a>0 かつ b <a2 )がある. P を通り y 軸に平行な直線 l が, C および x 軸と交わる点をそれぞれ Q ,R とする. PQ→ =QM→ となるように点 M を,また PR→= ON→ となるように点 N をとる.直線 MN が C と交わる点を A ,B とする.
(1) 直線 AP および直線 BP は,それぞれ C の接線であることを示せ.
(2) C と線分 AB で囲まれる図形の面積は, l により二等分されることを示せ.
2015-10280-0203
【3】 座標平面上の曲線 K を y =x3 -x+1 とする.
(1) 点 ( t,t3 -t+1 ) における K の接線の方程式を t を用いて表せ.
(2) 点 ( 1,5 ) を通る直線 l が K と接するとき,接点の座標を求めよ.
(3) 直線 l と K で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし, ∫ x3 ⁢dx= x 44 +C ( C は積分定数)用いてよい.
2015-10280-0204
【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択
【4-Ⅰ】 座標平面上に曲線 C :y= x4-2 ⁢x2 +2⁢x がある.直線 l は C に異なる 2 点で接している.このとき以下の問いに答えよ.ただし ( x4 )′ =4⁢ x3 および ∫x4 ⁢dx= x 55 +D ( D は積分定数)となることを用いてよい.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) C と l で囲まれる図形の面積を求めよ.
(3) 実数 a に対して,点 ( 0,a ) を通る C の接線の本数を求めよ.
2015-10280-0205
【4-Ⅱ】 関数 f ⁡(x ) はすべての実数 x について
f⁡( x)= x+ex ⁢ ∫0x e- t⁢f ⁡(t )⁢d t
を満たす.
(1) f⁡( 0) の値を求めよ.
(2) f′⁡ (x) =2⁢f ⁡(x )-x +1 が成り立つことを示せ.
(3) g⁡( x)= e-2 ⁢x⁢ f⁡( x) とする. g′⁡ (x ) を求めよ.
(4) f⁡( x) を求めよ.