2015　東京海洋大学　前期海洋工学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{OAB}$に対して，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{N}\text{，}$直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{AN}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RL}$を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に放物線$C\text{：}y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,b)$（ただし，$a>0$かつ$b<a^2$）がある．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$l$が，$C$および$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QM}}$となるように点$\mathrm{M}$を，また$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$となるように点$\mathrm{N}$をとる．直線$\mathrm{MN}$が$C$と交わる点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(1)　直線$\mathrm{AP}$および直線$\mathrm{BP}$は，それぞれ$C$の接線であることを示せ．

(2)　$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積は，$l$により二等分されることを示せ．

【３】　座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)　点$(t,t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　点$(1,5)$を通る直線$l$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．

(3)　直線$l$と$K$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，${\displaystyle \int }{x}^{3}dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+C$（$C$は積分定数）用いてよい．

【４-Ⅰ】　座標平面上に曲線$C\text{：}y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$l$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問いに答えよ．ただし${(x^4)}^{\prime }=4x^3$および${\displaystyle \int }{x}^{4}dx={\displaystyle \frac{x^5}{5}}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　実数$a$に対して，点$(0,a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

【４-Ⅱ】　関数$f(x)$はすべての実数$x$について

$f(x)=x+e^x{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}f(t)dt$

を満たす．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)=2f(x)-x+1$が成り立つことを示せ．

(3)　$g(x)=e^{-2x}f(x)$とする．$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(4)　$f(x)$を求めよ．