2015　新潟大学　前期MathJax

【１】　整数$a$に対して$P(x)=x^3-a{x}^2+ax-1$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．

(2)　$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．

(3)　$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=5\text{，}$$4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$100+3\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0$が成り立つことを示せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|$の値を求めよ．

【３】　$f(x)=x^2-2x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))$における接線を$l_1$とし，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(p+1,f(p+1))$における接線を$l_2$とする．$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_1\text{，}{l}_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．

(2)　交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．

(3)　放物線$y=f(x)$と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を次の条件(ⅰ)および(ⅱ)をみたすように定める．

(ⅰ)　$a_1=0\text{，}{a}_2=3$

(ⅱ)　$3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．

　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の第$50$項の値を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$50$項までの和を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=5\text{，}$$4\overrightarrow{\mathrm{AG}}+3\overrightarrow{\mathrm{BG}}+5\overrightarrow{\mathrm{CG}}=12\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を示せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,b)$とし，$f(x)={(x-a)}^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,-2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$l_1\text{，}{l}_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}\mathrm{Q}(q,f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$l_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　面積$S$を$b$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,b)$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を次の条件(ⅰ)および(ⅱ)をみたすように定める．

(ⅰ)　$a_1=0\text{，}{a}_2=3$

(ⅱ)　$3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．

　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定める．

$\begin{array}{ll}{f}_1(x)=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}& \\ f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\\ f_n(x)=1-{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt& \text{（}n\text{が}3\text{以上の奇数のとき）}\end{array}$

次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x\leqq 1$のとき$x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．

(1)　関数$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$-{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}\leqq f_1(x)-\cos x\leqq {\displaystyle \frac{x^4}{4!}}$

(3)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，次の不等式

$-{\displaystyle \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}}\leqq f_{2m-1}(x)-\cos x\leqq {\displaystyle \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}}$

がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．

(4)　極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{f}_{2m-1}\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$を求めよ．