2015　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　下の問いに答えなさい．

(1)　袋の中に$-1$と書かれたカードが$1$枚，$2$と書かれたカードが$2$枚，計$3$枚ある．この袋の中からカードを$1$枚取り出し，出た数を確認してから元に戻す．この試行を$4$回繰り返すとき，出た$4$つの数の和が$0$以下である確率を求めなさい．

(2)　袋の中に$2$と書かれたカードが$1$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚，$8$と書かれたカードが$1$枚，計$3$枚ある．この袋の中からカードを$1$枚取り出し，出た数を確認してから元に戻す．この試行を$4$回繰り返すとき，出た$4$つの数の積が$128$である確率を求めなさい．

【２】　平面上で原点$\mathrm{O}(0,0)$および点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,0)$がある．点$\mathrm{P}(x,y)$に対して，実数$a\text{，}b\text{，}c$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$

$a+b+c=1$

を満たしているとするとき，下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$をそれぞれ$x\text{，}y$で表しなさい．

(2)　$a\geqq b\geqq c\geqq 0$を満たす$\mathrm{P}$の範囲を図示しなさい．

【３】　関数$f(x)={(\log x)}^2$とおく．$t$を正の数とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(2)　$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．

(3)　前問(2)で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．

(4)　$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．

【４】　放物線$y=x^2-2x+1$と直線$y=4$とで囲まれた図形を$D$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$D$の面積$S$を求めなさい．

(2)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．