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2015-10361-0201
2015 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域
易□ 並□ 難□
【1】 四面体 OABC において, 3 つのベクトル OA→ , OB→ , OC→ はどの 2 つも互いに垂直であり, h>0 に対して,
|OA →| =1 , |OB →| =2 , | OC→ |=h
とする. 3 点 O , A , B を通る平面上の点 P は, CP→ が CA → と CB → のどちらも垂直となる点であるとする.次の問いに答えよ.
(1) OP→ =α⁢ OA→ +β⁢ OB→ とするとき, α と β を h を用いて表せ.
(2) 直線 OP と直線 AB が直交していることを示せ.
(3) ▵PAB は,辺 AB を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ.
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【2】 関数 f ⁡(x )=x ⁢ex について,次の問いに答えよ.
(1) 関数 y =f⁡( x) について,増減および凹凸を調べ,そのグラフをかけ.ただし,必要ならば limx→ -∞ x⁢ex =0 を用いてもよい.
(2) 不定積分 ∫x⁢ ex⁢ dx , ∫x2 ⁢e 2⁢x ⁢dx をそれぞれ求めよ.
(3) 0≦t ≦1 に対し g ⁡(x )=f ⁡(x )-f ⁡(t ) とおく. 0≦x ≦1 の範囲で,曲線 y =g⁡( x) と x 軸ではさまれる部分を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V ⁡(t ) とする. V⁡( t) を求めよ.
(4) (3)の V ⁡(t ) が最小値をとるときの t の値を a とする.最小値 V ⁡(a ) と, f⁡( a) の値を求めよ.ただし, a の値を求める必要はない.
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【3】 関数 y =log3 ⁡x とその逆関数 y =3x のグラフが,直線 y =-x+ s と交わる点をそれぞれ P ( t,log3 ⁡t) ,Q ( u,3u ) とする.次の問いに答えよ.
(1) 線分 PQ の中点の座標は ( s2 , s2 ) であることを示せ.
(2) s ,t , u は s =t+u , u=log 3⁡t を満たすことを示せ.
(3) limt →3 s⁢u -kt -3 が有限な値をなるように,定数 k の値を定め,その極限値を求めよ.
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【4】 a>1 とする.無限等比級数
a+a⁢ x⁢( 1-a⁢ x)+ a⁢x 2⁢ (1- a⁢x) 2+a ⁢x3 ⁢( 1-a⁢ x)3 +⋯
が収束するとき,その和を S ⁡(x ) とする.次の問いに答えよ.
(1) この無限等比級数が収束するような実数 x の値の範囲を求めよ.また,そのときの S ⁡(x ) を求めよ.
(2) x が(1)で求めた範囲を動くとき, S⁡( x) のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) I⁡( a)= ∫ 01a S⁡ (x) ⁢dx とおくとき,極限値 lima→ ∞I ⁡(a ) を求めよ.