2015　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はどの$2$つも互いに垂直であり，$h>0$に対して，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=h$

とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ．

(3)　$▵\mathrm{PAB}$は，辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ．

【２】　関数$f(x)=x{e}^x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$を用いてもよい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{x}dx\text{，}{\displaystyle \int }{x}^2{e}^{2x}dx$をそれぞれ求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく．$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を求めよ．

(4)　(3)の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする．最小値$V(a)$と，$f(a)$の値を求めよ．ただし，$a$の値を求める必要はない．

【３】　関数$y={\log }_{3}x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,{\log }_{3}t)\text{，}\mathrm{Q}(u,3^u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$({\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{s}{2}})$であることを示せ．

(2)　$s\text{，}t\text{，}u$は$s=t+u\text{，}u={\log }_{3}t$を満たすことを示せ．

(3)　$\underset{t\to 3}{\lim }{\displaystyle \frac{su-k}{t-3}}$が有限な値をなるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．

【４】　$a>1$とする．無限等比級数

$a+ax(1-ax)+a{x}^2{(1-ax)}^2+a{x}^3{(1-ax)}^3+\cdots$

が収束するとき，その和を$S(x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの$S(x)$を求めよ．

(2)　$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$I(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{a}}}S(x)dx$とおくとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }I(a)$を求めよ．