2015　福井大学　前期MathJax

【１】　$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれている$n$個の球が，袋の中に入っている．この袋から$3$個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n\geqq 3$とする．

(1)　$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．

(2)　球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．

(3)　球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．

(4)　$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．

【２】　三角形$▵\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1\text{，}0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OE}\text{，}\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を，$p\text{，}q\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．

(3)　$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$に対して

$\mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2\text{，}\mathrm{AB}\perp \mathrm{GF}$

となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

【３】　正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．

(2)　正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．

(4)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

【４】　$a$を正の定数とし，

$x=a\cos \theta -\cos 2\theta \text{，}y=a\sin \theta +\sin 2\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　$2$つの関数

$f(x)=x^2+4\text{，}g(x)=x^2$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線と，曲線$y=g(x)$との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．曲線$y=g(x)$の，点$\mathrm{A}$における接線と点$\mathrm{B}$における接線との交点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{C}$は曲線$y=x^2-4$上にあることを示せ．

(3)　直線$\mathrm{AB}$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積は，$a$の値によらずに一定であることを示せ．

【４】　正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{100}$の値を求めよ．

(2)　$a_n=6$となる$n$はいくつあるか求めよ．

(3)　正の整数$k$に対して，$a_n=2k$となる$n$はいくつあるか求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．

【３】　正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．

(3)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

【４】　座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2\cos \theta ,2\sin \theta )$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$l$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．