2015　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　${\log }_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．

【１】

(2)　座標空間において，点$(a,0,-1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．

【１】

(3)　$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．

【１】

(4)　$y=2(\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$のグラフをかけ．ただし，$0\leqq \theta \leqq 2\pi$とする．

【２】(1)　関数$y=3|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．

(2)　$1<t<3$を満たす定数$t$を考える．曲線$y=3|x^2-2x-3|$の$t\leqq x\leqq t+2$における部分と$x$軸，および$2$直線$x=t\text{，}x=t+2$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$1<t<3$の範囲を動くときの$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【３】　右の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1\text{，}$正五角形$P_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$▵\mathrm{ACD}$と$▵\mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\cos xdx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}}>x+1$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．

【２】　座標平面上において，曲線$C\text{：}y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(a,e^{2a})$における接線$l$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\log tdt$および${\displaystyle \int }{(\log t)}^{2}dt$を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$l$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【３】　座標平面上の放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$を$C$とし，$a$を$2$より小さい実数とする．点$\mathrm{A}(a,a)$から$C$に引いた異なる$2$つの接線の接点を各々$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{p^2}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}})\text{，}\mathrm{Q}(q,{\displaystyle \frac{q^2}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}})$とする．ただし，$p<q$とする．

(1)　$p$および$q$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\theta =\angle \mathrm{PAQ}(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a=1$のとき，$▵\mathrm{PAQ}$の外接円の半径$R$を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\mathrm{AB}=1$とする．点${\mathrm{A}}^{\prime }$および点${\mathrm{B}}^{\prime }$をそれぞれ$\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{a}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{b}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\angle {\mathrm{BAA}}^{\prime }$の$2$等分線と$\angle {\mathrm{ABB}}^{\prime }$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．

【５】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(-6,0)$をとる．また，曲線$x=3\cos \theta \text{，}y=3\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$を$C_1$とする．曲線$C_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots \text{，}{C}_n\text{，}\cdots$を次のように順次定義する．

「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」

また，各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を${\mathrm{A}}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点${\mathrm{X}}_1(x_1,y_1)$を$x_1=3\cos \theta \text{，}{y}_1=3\sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点${\mathrm{X}}_2\text{，}{X}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{X}}_n\text{，}\cdots$を次のように順次定義する．

「線分${\mathrm{PX}}_n$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{X}}_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1}$とする．」

(1)　$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\angle {\mathrm{A}}_1\mathrm{PQ}$および$\angle {\mathrm{A}}_2\mathrm{PO}$を求めよ．ただし，解答は値のみでよい．

(3)　$x_n\text{，}{y}_n$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

(5)　直線${\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．