2015　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　自然数$n$に対して，方程式$x^2+nx-n=0$の実数解は${\alpha }_n=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\beta }_n=\boxed{\text{イ}}\text{（}{\alpha }_n<{\beta }_n\text{）}$である．数直線上の$2$点${\mathrm{A}}_n({\alpha }_n)\text{，}{\mathrm{B}}_n({\beta }_n)$に対し，線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$n:2$に内分する点を${\mathrm{C}}_n({\gamma }_n)$とするとき，数列$\{{\gamma }_n\}$の極限値は$\underset{n\to \infty }{\lim }{\gamma }_n=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$m$を実数とする．方程式$x^2-2mx-4m+1=0$が実数解をもつような$m$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．また，この方程式が整数解をもつような整数$m$の値をすべて求めると$m=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　方程式$x^2+4y^2=1$を満たす実数の組$(x,y)$について，$x^2+4xy+8y^2$の最大値は$\boxed{\text{カ}}$となる．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を定義域とする関数$f(x)=x\log x+(1-2x)\log (1-2x)$が最小値をとるのは，$x=\boxed{\text{キ}}$のときである．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ク}}$から$\boxed{\text{サ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　空間において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3,2,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,4,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(1,-1,5)$とする．$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の成分表示は$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{ケ}}$となる．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ク}}$から$\boxed{\text{サ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}\mathrm{B}(0,2)\text{，}\mathrm{C}(-1,1)$と$x$軸上の点$\mathrm{P}(x,0)$を考える．$\angle \mathrm{APB}$（ただし，$0\leqq \angle \mathrm{APB}\leqq \pi$）が最大になるときの$x$の値をすべて求めると，$x=\boxed{\text{コ}}$である．また，$\angle \mathrm{APC}$（ただし，$0\leqq \angle \mathrm{APC}\leqq \pi$）が最大になるのは$x=\boxed{\text{サ}}$のときである．

【３】　$n$を$3$以上の整数とする．半径$1$の円に内接する正$n$角形を考える．正$n$角形の$n$個の頂点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$の中から異なる$3$点を無作為に選んで，これらを頂点とする三角形を作るとき，鋭角三角形になる確率を求めよ．ただし，鋭角三角形とは$3$つの内角がすべて$90\mathrm{°}$より小さい三角形のことをいう．

【４】　座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに$0$以上の整数である点の集合を$A$とする．$A$の各点$(i,j)$に実数$a(i,j)$が対応しており，$A$に属する任意の$(i,j)$に対して$a(i,j+1)=a(i+1,j)-a(i,j)$が成り立っているとする．また，各$k$について$a_k=a(k,0)$とする．$n$が自然数のとき，$a(0,n)$を$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で表せ．

【５】　$a\text{，}b$を自然数とする．数列$\{P_n\}$を

【６】　$-0.03\leqq x\leqq 0$のとき，つねに$kx-{\displaystyle \frac{1}{l}}{x}^2\leqq \log (1+x)\leqq kx-{\displaystyle \frac{1}{m}}{x}^2$となるような自然数$k\text{，}l\text{，}m$を$1$組あげよ．また，${0.97}^n<0.5$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数について$\log 2=0.693$とする．