2015　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　$0$以上の整数$m\text{，}n$について，次のように$A(m,n)$を定める．

$A(m,n)=\{\begin{array}{ll}n+1& \text{（}m=0\text{）}\\ A(m-1,1)& \text{（}m\ne 0\text{かつ}n=0\text{）}\\ A(m-1,A(m,n-1))& \text{（}m\ne 0\text{かつ}n\ne 0\text{）}\end{array}$

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　次の表に当てはまる$A(m,n)$の値を求め，解答用紙にある表に書き入れよ．

(2)　$A(2,n)=2n+3$を証明せよ．

【２】　$t>0$とする．座標平面上に

放物線$P\text{：}y=x^2\text{，}$直線$l_1\text{：}y=tx+{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$直線$l_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{t}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$

がある．$P$と$l_1$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標よりも大きいものとする．$P$と$l_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とし，$\mathrm{C}$の$x$座標は$\mathrm{D}$の$x$座標よりも大きいものとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$t$を用いて表せ．

(2)　四角形$\mathrm{ADBC}$の面積を最小にする$t$の値を求めよ．

【３】

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\{{\cos }^{2}2(x-t)-{\displaystyle \frac{1}{4}}\}dt(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とおく．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$\sqrt{2}<e^{\frac{1}{e}}$を示せ．