2015　信州大学　前期　経済，理，医MathJax

【１】　原点を中心とする半径$1$の円$O$上に，$3$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}\mathrm{C}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$をとる．線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$2$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る直線が円$O$と交わる$2$点のうち，$\mathrm{N}$に近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{NQ}$の長さを求めよ．

【２】　次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,y,z)$を考える．

(ⅰ)　$x$は奇数である．

(ⅱ)　$x^2+y^2=z^2$

(ⅲ)　$x\text{，}y\text{，}z$の最大公約数は$1$である．

例えば$(x,y,z)=(3,4,5)\text{，}(5,12,13)$などがその例である．

(1)　$y$は偶数であることを示せ．

(2)　$x=a^2-b^2\text{，}y=2ab$となる自然数$a\text{，}b$が存在することを示せ．

(3)　条件を満たす$(x,y,z)$で，$(3,4,5)$と$(5,12,13)$以外のものを$2$組求めよ．

【３】　放物線$y=a{x}^2+bx+c\text{（}a>0\text{）}$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$l$とする．

(1)　放物線$C$が点$(1,1)$で直線$l$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a\text{，}b\text{，}c$が満たす必要十分条件を求めよ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{8}{9}}$のとき，(1)の条件のもとで，放物線$C$と直線$l$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$個の実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$に対して

${\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\right)}^2\leqq n{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2$

が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$についての必要十分条件を求めよ．

(2)　偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．

【５】　$n$を自然数とする．

(1)　$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x{(1+x)}^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(k+1)}^2{}_{n}C_k=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．

【６】　円$x^2+{(y-1)}^2=1$を$C\text{，}$円${(x-2)}^2+{(y-1)}^2=1$を$C_0$とする．$C\text{，}{C}_0\text{，}x$軸に接する円を$C_1$とする．$C\text{，}{C}_1\text{，}x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C\text{，}{C}_n\text{，}x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_n}}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【７】　次の条件(＊)を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．