Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2015年度一覧へ
大学別一覧へ
信州大一覧へ
2015-10421-0401
2015 信州大学 後期 理,繊維学部数ⅠAⅡB
易□ 並□ 難□
【1】 空間内の点 A ( 0,-1 ,1) を考える. xy 平面上の点 P に対し,線分 AP が x z 平面と交わる点を Q とおく.
(1) P が x y 平面上の 2 つの半直線 x =1 ( y≧ 0 ) と x =-1 ( y≧ 0 ) 上を動くとき, Q の軌跡を x z 平面に図示せよ.
(2) P が x y 平面上の放物線 y =x2 上を動くとき, Q の軌跡を x z 平面に図示せよ.
2015-10421-0402
2015 信州大学 後期 理学部数ⅠAⅡB,医(医)学部
医(医)学部は【1】
【2】 α を実数とし, 2 つの曲線 C1: y=x3 -α⁢ x と C2: y=4⁢ x2 を考える.
(1) 曲線 C 1 と x 軸が異なる 3 つの交点をもち,曲線 C 1 と C 2 が異なる 3 つの交点をもつための α の必要十分条件を求めよ.
(2) (1)で求めた α の条件のもとで,曲線 C 1 と C 2 で囲まれた部分の面積を求めよ.
2015-10421-0403
医(医)学部は【2】
【3】 A ,B , C が A +B+C =π を満たすとき,次の等式を示せ.
sin2 ⁡A+ sin2⁡ B+sin2 ⁡C-2 =2⁢cos ⁡A⁢cos ⁡B⁢cos ⁡C
2015-10421-0404
2015 信州大学 後期 理,繊維学部数ⅠAⅡB,医(医)学部
医(医)学部は【3】
線医学部は【2】
【4】 実数 a , b に対して 2 次関数 f ⁡(x )=- ( a2+1 ) ⁢x2 +2⁢a ⁢x+b を考える.
(1) 2 次方程式 f ⁡(x )=0 が実数解をもつような a が存在するための, b の必要十分条件を求めよ.
(2) b=0 とする. a を動かすときの f ⁡(x )=0 の実数解の最大値を求めよ.また,そのときの a の値も求めよ.
2015-10421-0405
2015 信州大学 後期 理,繊維学部数Ⅲ
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) 原点を中心とする半径 2 の球を平面 z =a で切る.ただし, 0<a <2 とする.この切り口を底面とし,原点を頂点とする円錐の体積が最大となるような a の値を求めよ.
2015-10421-0406
(2) 不定積分 ∫x⁢ (log⁡ x)2 ⁢dx を求めよ.
2015-10421-0407
(3) 極限値 lims→ +0 ∫ sπ2 ( 1 sin⁡x - 1x )⁢ dx を求めよ.
2015-10421-0408
【2】 b>0 とする.曲線 y =eb ⁢x と放物線 y =( x-a) 2 が共有点 P ( p,q ) をもち,点 P における 2 つの曲線の接線が一致する.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a ,p , q の値を b を用いて表せ.
(2) b が b >0 の範囲を動くとき, a の最小値を求めよ.
(3) a=0 のとき, S= ∫0p ( eb⁢ x- x2) ⁢dx を求めよ.
2015-10421-0409
2015 信州大学 後期 理学部数Ⅲ
【3】 t>1 とする.原点を中心とする半径 1 の円を C 0 とする.点 ( 0,t ) を通り, C0 と接する直線のうちで傾きが負のものを l t とする.中心が直線 y =t2 -1⁢ x 上にある半径 1 の円で直線 l t と接するもののうち, C0 と異なるものを C t とし,円 C t の中心の x 座標を f ⁡(t ) とおく.数列 { an } を an= ∫ n+1 n+2 f⁡ (t) ⁢dt によって定めるとき, limn →∞ an を求めよ.
2015-10421-0410
2015 信州大学 後期 医(医)学部
【4】 関数 h ⁡( x) は連続であり,すべての実数 x に対して h ⁡(x )> 0 であるとする.実数 a , b ,c , d は c <a<b <d を満たすとし, 2 つの関数 f ⁡(x ) と g ⁡(x ) を
f⁡( x)= ∫ ab |x- t|⁢ h⁡( t)⁢ dt
g⁡( x)= ∫ cd |x -t| ⁢dt
と定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) は,開区間 ( a,b ) で下に凸であることを示せ.
(2) 関数 f ⁡(x )-g ⁡( x) は,閉区間 [ a,b ] で 1 次関数または定数関数であることを示せ.
2015-10421-0411
【5】 正の実数 α , β は α2+ β2 ≦1 を満たすとする.関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= 2⁢α 2⁢β ⁢x3 -(1 +α2 )⁢ x2+ 1
(1) f⁡ ( 1α )≦0 が成り立つことを示せ.
(2) q= 1+α 23 ⁢α2 ⁢β とおくとき, f⁡( q)≦ 0 が成り立つことを示せ.
(3) f⁡( x)= 0 と 0 <x≦ 1 α を満たす x が,ただ 1 つだけ存在することを示せ.