2015 信州大学 後期 理,医(医),繊維学部MathJax

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2015 信州大学 後期 理,繊維学部数ⅠAⅡB

易□ 並□ 難□

【1】 空間内の点 A ( 0,-1 ,1) を考える. xy 平面上の点 P に対し,線分 AP x z 平面と交わる点を Q とおく.

(1)  P x y 平面上の 2 つの半直線 x =1 y 0 x =-1 y 0 上を動くとき, Q の軌跡を x z 平面に図示せよ.

(2)  P x y 平面上の放物線 y =x2 上を動くとき, Q の軌跡を x z 平面に図示せよ.

2015 信州大学 後期 理学部数ⅠAⅡB,医(医)学部

医(医)学部は【1】

易□ 並□ 難□

【2】  α を実数とし, 2 つの曲線 C1 y=x3 -α x C2 y=4 x2 を考える.

(1) 曲線 C 1 x 軸が異なる 3 つの交点をもち,曲線 C 1 C 2 が異なる 3 つの交点をもつための α の必要十分条件を求めよ.

(2) (1)で求めた α の条件のもとで,曲線 C 1 C 2 で囲まれた部分の面積を求めよ.

2015 信州大学 後期 理学部数ⅠAⅡB,医(医)学部

医(医)学部は【2】

易□ 並□ 難□

【3】  A B C A +B+C =π を満たすとき,次の等式を示せ.

sin2 A+ sin2 B+sin2 C-2 =2cos Acos Bcos C

2015 信州大学 後期 理,繊維学部数ⅠAⅡB,医(医)学部

医(医)学部は【3】

線医学部は【2】

易□ 並□ 難□

【4】 実数 a b に対して 2 次関数 f (x )=- ( a2+1 ) x2 +2a x+b を考える.

(1)  2 次方程式 f (x )=0 が実数解をもつような a が存在するための, b の必要十分条件を求めよ.

(2)  b=0 とする. a を動かすときの f (x )=0 の実数解の最大値を求めよ.また,そのときの a の値も求めよ.

2015 信州大学 後期 理,繊維学部数Ⅲ

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1) 原点を中心とする半径 2 の球を平面 z =a で切る.ただし, 0<a <2 とする.この切り口を底面とし,原点を頂点とする円錐の体積が最大となるような a の値を求めよ.

2015 信州大学 後期 理,繊維学部数Ⅲ

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(2) 不定積分 x (log x)2 dx を求めよ.

2015 信州大学 後期 理,繊維学部数Ⅲ

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(3) 極限値 lims +0 sπ2 ( 1 sinx - 1x ) dx を求めよ.

2015 信州大学 後期 理,繊維学部数Ⅲ

易□ 並□ 難□

【2】  b>0 とする.曲線 y =eb x と放物線 y =( x-a) 2 が共有点 P ( p,q ) をもち,点 P における 2 つの曲線の接線が一致する.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a p q の値を b を用いて表せ.

(2)  b b >0 の範囲を動くとき, a の最小値を求めよ.

(3)  a=0 のとき, S= 0p ( eb x- x2) dx を求めよ.

2015 信州大学 後期 理学部数Ⅲ

易□ 並□ 難□

【3】  t>1 とする.原点を中心とする半径 1 の円を C 0 とする.点 ( 0,t ) を通り, C0 と接する直線のうちで傾きが負のものを l t とする.中心が直線 y =t2 -1 x 上にある半径 1 の円で直線 l t と接するもののうち, C0 と異なるものを C t とし,円 C t の中心の x 座標を f (t ) とおく.数列 { an } an= n+1 n+2 f (t) dt によって定めるとき, limn an を求めよ.

2015 信州大学 後期 医(医)学部

易□ 並□ 難□

【4】 関数 h ( x) は連続であり,すべての実数 x に対して h (x )> 0 であるとする.実数 a b c d c <a<b <d を満たすとし, 2 つの関数 f (x ) g (x )

f( x)= ab |x- t| h( t) dt

g( x)= cd |x -t| dt

と定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x ) は,開区間 ( a,b ) で下に凸であることを示せ.

(2) 関数 f (x )-g ( x) は,閉区間 [ a,b ] 1 次関数または定数関数であることを示せ.

2015 信州大学 後期 医(医)学部

易□ 並□ 難□

【5】 正の実数 α β α2+ β2 1 を満たすとする.関数 f (x )

f( x)= 2α 2β x3 -(1 +α2 ) x2+ 1

と定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  f ( 1α )0 が成り立つことを示せ.

(2)  q= 1+α 23 α2 β とおくとき, f( q) 0 が成り立つことを示せ.

(3)  f( x)= 0 0 <x 1 α を満たす x が,ただ 1 つだけ存在することを示せ.

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