2015　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$10$個の文字，$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{W}\text{，}\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．

(1)　この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．

(2)　「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．

(3)　$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．

(4)　同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．

【２】　関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．

(2)　$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．

(3)　$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)|\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の最小値を与える$x$を求めよ．

【３】　$m>1$とし，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ (y-2mx)(y+2mx-3m^2)\leqq 0\end{array}$

の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$y=x^2$と$y=-2mx+3<msup><mi>m</mi><mn>2</mn>\; </msup>$の共有点を求めよ．

(2)　領域$D$を図示せよ．

(3)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3-3x^2+x$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．また，グラフを描け．

(2)　$a$を実数とする．直線$y=ax$と$C$の共有点が異なる$2$点のみであるときの$a$の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの$a$の値に対して，共有点の$x$座標を求めよ．

(3)　$C$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における接線を$l$とする．$l$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみであるとき，$t$が満たす条件を求めよ．

【５】　$p$を$2$以上の整数とし，$a=p+\sqrt{p^2-1}\text{，}b=p-\sqrt{p^2-1}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a^2+b^2$と$a^3+b^3$がともに偶数であることを示せ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とする．$a^n+b^n$が偶数であることを示せ．

(3)　正の整数$n$について，$[a^n]$が奇数であることを示せ．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$m\leqq x<m+1$を満たす整数$m$を表す．

【４】　関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と(2)で求めた$l$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【５】(1)　$\alpha \text{，}\beta$を$\alpha \text{，}\beta \ne n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$（$n$は整数）とする．$\alpha \text{，}\beta$が$\tan \alpha \tan \beta =1$を満たすとき，ある整数$k$があって$\alpha +\beta =k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となることを示せ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とし，$t=\tan x$とおく．$\tan 3x$を$t$の式で表せ．

(3)　$c$を実数とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$2$曲線$y=c\tan x$と$y=\tan 3x$の共有点の個数を求めよ．