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2015-10461-0101
2015 静岡大学 前期
教育,理(生物科,地球科学科),農学部
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 次の条件によって定められる数列 { an }, { bn } がある.
a1= 1 2 ,3⁢ an+ 1= an-2 ⁢an +1⁢ an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
b1 =1 ,b n+1 =bn + nan ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
このとき,次の問いに答えよ.ただし,すべての自然数 n について a n>0 である.
(1) cn = 1an とおくとき, cn+ 1 と c n の関係式を求めよ.
(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(3) 数列 { bn } の一般項を求めよ.
2015-10461-0102
理(数学科)学部【1】の類題
【2】 ▵ABC において, AB→ =b→ , AC→ =c→ とおき, |b →| =1 , | c→ |=3 , b→ ⋅c →=1 であるとする.辺 BC を 1 :2 に内分する点を D , 線分 AD に関して B と対称な点を E , 直線 AE と辺 BC の交点を F とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) AE→ を b→ , c→ を用いて表せ.
(2) AF→ を b→ ,c → を用いて表せ.
(3) DF:BC を求めよ.
2015-10461-0103
理(物理,化学科)工,情報学部【1】の類題
【3】 関数 f ⁡(x )= x3-9 ⁢x2 +24⁢x について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の増減,極値を調べて,グラフの概形をかけ.
(2) k を定数とするとき,曲線 y =f⁡( x) と直線 y =k⁢x の共有点の個数を調べよ.
2015-10461-0104
教育,理(数,生物科,地球科学科),農学部
理(数学科)学部は【2】
【4】 1 つのコマと右の図のような 3 つのマス目 A ,B , C がある.コマが A または B にあるとき,さいころを投げて出た目の数だけ C の方向にコマを進める.ただし,コマが途中で C や A に来たら,逆の方向に折り返して進める.これを 1 回の操作とする. A または B で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し, C に止まった場合は操作を終了する.例えば, A にコマがあり 3 の目が出たら A →B →C →B とコマを進め,続けて操作を繰り返したとき 5 の目が出たら B→ C→ A→ B→ C と進めて操作を終了する.
最初にコマを A に置いて操作を始めるとき,次の問いに答えよ.
(1) 1 回の操作で終了する確率 p 1 を求めよ.
(2) 2 回の操作で終了する確率 p 2 を求めよ.
(3) n 回の操作で終了する確率 p n を n を用いて表せ.
2015-10461-0105
理(数,物理,化学科),工,情報学部
教育,理(生物科,地球科学科)農学部【2】の類題
【1】 ▵ABC において, AB→ =b→ , AC→ =c→ とおき, |b →| =1 , | c→ |=3 , b→ ⋅c →=1 であるとする.辺 BC を 1 :2 に内分する点を D , 線分 AD に関して B と対称な点を E , 直線 AE と辺 BC の交点を F とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC の面積 S 1 を求めよ.
(2) AE→ を b→ , c→ を用いて表せ.
(3) AF→ を b→ , c → を用いて表せ.
(4) DF:BC を求めよ.
(5) ▵DEF の面積 S 2 を求めよ.
2015-10461-0106
【3】 e を自然対数の底とし, 0≦x ≦e とする.関数 f ⁡(x )= ∫02 | et- x2 | ⁢dt について,次の問いに答えよ.
(1) 定積分を計算し, f⁡( x) を x を用いて表せ.
(2) f⁡( x) の最大値と最小値を求めよ.また,それらの値をとるときの x の値もそれぞれ求めよ.
2015-10461-0107
理(数,物理,化学科),工,情報学部新課程
【4】 i を虚数単位, r を 1 より大きい実数とし, w=r⁢ (cos⁡ π24+ i⁢sin⁡ π24 ) とおく.また,数列 { zn } を次の式で定める.
z1 =w ,z n+1 =zn ⁢w n+2 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
このとき,次の問いに答えよ.
(1) z2 を r を用いて表せ.
(2) zn の偏角の 1 つを n を用いて表せ.
(3) 複素数平面で原点を O ,zn で表される点を Pn とする. 7≦n ≦48 のとき, ▵P nOP n+1 が ∠ O= π 3 を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ.また,そのときの z n の偏角 θ を 0 ≦θ≦ 2⁢π の範囲で求めよ.
2015-10461-0108
理(数,物理,化学科),工,情報学部旧課程
【4】 r を 1 より大きい実数とし, A=r⁢ (cos ⁡ π24 -sin⁡ π24 sin⁡ π 24cos ⁡ π 24 ) とおく.また, xy 平面上の点 Pn ( xn, yn ) ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) を次の式で定める.
( x1 y1 )=A ⁢( 10 ) ,( x n+1 y n+1 )=A n+2 ⁢( xn yn )
(1) 点 P2 の座標を r を用いて表せ.
(2) xy 平面上で原点 O と点 X ( 1,0 ) について,半直線 OX を始線とし,半直線 OP n を動径とするとき,動径 OP n の表す角の 1 つを n を用いて表せ.
(3) 7≦n ≦48 のとき, ▵P nOPn +1 が ∠ O= π 3 を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ.また,そのとき OX を始線とする動径 OP n の表す角を θ として, θ を 0 ≦θ<2 ⁢π の範囲で求めよ.
2015-10461-0109
理(物理,化学科),工,情報学部
教育,理(生物科,地球科学科),農学部【3】の類題
【1】 関数 f ⁡(x )= x3-9 ⁢x2 +24⁢x について,次の問いに答えよ.
(3) 曲線 y =f⁡ (x ) と直線 y =6⁢x で囲まれた図形の面積 S を求めよ.