2015　静岡大学　前期MathJax

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$がある．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=b_n+{\displaystyle \frac{n}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．

(1)　$c_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-9x^2+24x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．

(2)　$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．

【４】　$1$つのコマと右の図のような$3$つのマス目$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．コマが$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$にあるとき，さいころを投げて出た目の数だけ$\mathrm{C}$の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で$\mathrm{C}$や$\mathrm{A}$に来たら，逆の方向に折り返して進める．これを$1$回の操作とする．$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，$\mathrm{C}$に止まった場合は操作を終了する．例えば，$\mathrm{A}$にコマがあり$3$の目が出たら$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{B}$とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき$5$の目が出たら$\mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}$と進めて操作を終了する．

最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ．

(2)　$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ．

(3)　$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ．

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．

(5)　$▵\mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．

【３】　$e$を自然対数の底とし，$0\leqq x\leqq e$とする．関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^2}|e^t-x^2|dt$について，次の問いに答えよ．

(1)　定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．

【４】　$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$w=r(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{24}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{24}})$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．

$z_1=w\text{，}{z}_{n+1}=z_n{w}^{n+2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z_2$を$r$を用いて表せ．

(2)　$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．

(3)　複素数平面で原点を$\mathrm{O}\text{，}{z}_n$で表される点を${\mathrm{P}}_n$とする．$7\leqq n\leqq 48$のとき，$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{OP}}_{n+1}$が$\angle \mathrm{O}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲で求めよ．

【４】　$r$を$1$より大きい実数とし，$A=r\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{24}}& -\sin {\displaystyle \frac{\pi }{24}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\pi }{24}}& \cos {\displaystyle \frac{\pi }{24}}\end{array}\right)$とおく．また，$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次の式で定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A^{n+2}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_2$の座標を$r$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{X}(1,0)$について，半直線$\mathrm{OX}$を始線とし，半直線${\mathrm{OP}}_n$を動径とするとき，動径${\mathrm{OP}}_n$の表す角の$1$つを$n$を用いて表せ．

(3)　$7\leqq n\leqq 48$のとき，$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{OP}}_{n+1}$が$\angle \mathrm{O}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのとき$\mathrm{OX}$を始線とする動径${\mathrm{OP}}_n$の表す角を$\theta$として，$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で求めよ．

【１】　関数$f(x)=x^3-9x^2+24x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．

(2)　$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=6x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．