2015　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は初項$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$および漸化式

$(n+2)a_n-2(n+1)a_{a+1}+(n+1)a_n{a}_{n+1}=0$

（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について$a_n\ne 0$が成り立つことを証明せよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．このとき，すべての自然数$n$について$S_n<2$が成り立つことを証明せよ．

【２】　整数ではない実数$x$に対して$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-[x]}}$と定める．ただし，$[x]$は$l<x<l+1$を満たす整数$l$を表す．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(\sqrt{2})\text{，}f(f(\sqrt{2}))$を計算し，簡潔な形で表せ．

(2)　$f(\sqrt{3})\text{，}f(f(\sqrt{3}))\text{，}f(f(f(\sqrt{3})))$を計算し，簡潔な形で表せ．

(3)　自然数$n$に対して，$n<x<n+1$かつ$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．

(4)　自然数$n$を$1$つ固定する．$n<x<n+1$の範囲の$x$で，$f(x)$が整数ではなく，さらに$f(f(x))=x$を満たす$x$を大きい順に並べる．その中の$x$で$f(x)=x$を満たすものは何番目に現れるかを答えよ．

【３】　$t$は実数で$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{P}(\cos t,\sin t)\text{，}\mathrm{Q}(1,\sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$l\text{，}$点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$l\text{，}m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$t$が$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,y)\text{（}x>0\text{，}y>0\text{）}$が$C$上にあるための条件を$x\text{，}y$の式で表せ．

(3)　曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$l\text{，}m$がなす鋭角と直線$m\text{，}n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．

(a)　点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t)$の座標を求めよ．

(b)　直線$l$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \varphi ,\sin \varphi )$とおく．このとき，$\theta =\varphi$を示せ．

【４】　$\alpha \text{，}\beta$を

$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)\cdots (3n+n)}{(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+n)}}\right)}^{\frac{1}{n}}$

および

$\beta =\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{(3n^2+1^2)(3n^2+2^2)(3n^2+3^2)\cdots (3n^2+n^2)}{(n^2+1^2)(n^2+2^2)(n^2+3^2)\cdots (n^2+n^2)}}\right)}^{\frac{1}{n}}$

とおく．このとき$\alpha <\beta$を示せ．また，$\alpha$と$\beta$の値をそれぞれ求めよ．