2015　名古屋大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の円$C\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2=1$と，$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}(-a,0)\text{，}\mathrm{Q}(b,0)$を考える．ただし，$a>0\text{，}b>0\text{，}ab\ne 1$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$のそれぞれから$C$に$x$軸とは異なる接線を引き，その$2$つの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$\mathrm{R}$の$y$座標が正であるとき，$▵\mathrm{PQR}$の周の長さを$T$とする．$T$を$a\text{，}b$で表せ．

(4)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が，条件「$\mathrm{PQ}=4$であり，$\mathrm{R}$の$y$座標は正である」を満たしながら動くとき，$T$を最小とする$a$の値とそのときの$T$の値を求めよ．

【２】　数直線上にある$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，

$\{\begin{array}{l}\text{石が点}1\text{にあるならば，確率}1\text{で点}2\text{に移動する}\\ \text{石が点}k\text{（}k=2\text{，}3\text{，}4\text{）にあるならば，}\\ \text{確率}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{で点}k-1\text{に，確率}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{で点}k+1\text{に移動する}\\ \text{石が点}5\text{にあるならば，確率}1\text{で点}4\text{に移動する}\end{array}$

という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．試行を$n$回繰り返した後に，石が点$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{）}$にある確率を$P_n(k)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$n=6$のときの確率$P_6(k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{）}$をそれぞれ求めよ．

(2)　石が移動した先の点に印をつける（点$1$には初めから印がついているものとする）．試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点すべてに印がついている確率を求めよ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$P_n(3)$を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　${(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}})}^2$を計算し，$2$重根号を用いない形で表せ．

(2)　$\alpha =\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha )=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．

(3)　$8$つの実数

$\pm \sqrt{13}\pm \sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm \sqrt{9-\sqrt{17}}$

（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，(2)で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^{-2}{2}^x\text{（}x\ne 0\text{）}$について，$f^{\prime }(x)>0$となるための$x$に関する条件を求めよ．

(2)　方程式$2^x=x^2$は相異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．

(3)　方程式$2^x=x^2$の解で有理数であるものをすべて求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$\alpha =\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha )=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．

(2)　$8$つの実数

$\pm \sqrt{13}\pm \sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm \sqrt{9-\sqrt{17}}$

（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，(1)で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．

(3)　(2)で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ．

【３】　$e$を自然対数の底とし，$t$を$t>e$となる実数とする．このとき，曲線$C\text{：}y=e^x$と直線$y=tx$は相異なる$2$点で交わるので，交点のうち$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}\text{，}$大きいものを$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}$とし，

曲線$C\text{，}x$軸および$2$つの直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$

曲線$C$および$2$つの直線$\mathrm{PR}\text{，}\mathrm{QR}$で囲まれる部分の面積を$S_2$

とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．

(2)　$\alpha <{\displaystyle \frac{e}{t}}\text{，}\beta <2\log t$となることを示し，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．必要ならば，$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてもよい．

【４】　数直線上にある$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，

$\{\begin{array}{l}\text{石が点}1\text{にあるならば，確率}1\text{で点}2\text{に移動する}\\ \text{石が点}k\text{（}k=2\text{，}3\text{，}4\text{）にあるならば，}\\ \text{確率}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{で点}k-1\text{に，確率}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{で点}k+1\text{に移動する}\\ \text{石が点}5\text{にあるならば，確率}1\text{で点}4\text{に移動する}\end{array}$

という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．また，石が移動した先の点に印をつけていく（点$1$には初めから印がついているものとする）．このとき，次の問に答えよ．

(1)　試行を$6$回繰り返した後に，石が点$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{）}$にある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点すべてに印がついている確率を求めよ．

(3)　試行を$n$回（$n\geqq 1$）繰り返した後に，ちょうど$3$つの点に印がついている確率を求めよ．