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2015 名古屋工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1)  x1 のとき不等式 2 x> 1+log x が成り立つことを証明せよ.

(2) 関数 y =xlog x x>0 のグラフを曲線 C とする.定数 a に対し,曲線 C の接線で点 ( a,0 ) を通るものは何本あるか.

(3) (2)で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および曲線 x =e- 2 で囲まれた部分の面積を求めよ.

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【2】  2 つの関数

f( x)= 2 2x +3 g (x) = 2x+ 1-x +2

がある.

(1) 関数 g ( x) の逆関数 g-1 ( x) を求めよ.

(2) 合成関数 g-1 ( f( g( x)) ) を求めよ.

(3) 実数 c が無理数であるとき, f( c) は無理数であることを証明せよ.

(4) 次の条件によって定められる数列 { an } の一般項を求めよ.

a1 =g (2 ) a n+1 =f (a n) n=1 2 3

(5) (4)で定められた数列 { an } の極限 limn a n を求めよ.

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【3】Ⅰ 次の 5 つの定積分を求めよ.(Ⅱ(4)で用いる.)

I1 = 0π xsin xd x I 2= 0π x2 cos xdx 0π sin2 xd x

I4 = 0π xcos xsin xdx I5 = 0π sin2 xcos xd x

Ⅱ 関数 y =sinx のグラフを曲線 C とする. C 上の点 O ( 0,0 ) における接線を l1 A ( π,0 ) における接線を l 2 とする.

  l1 l 2 の交点を B C 上の点 P ( t,sin t) 0t π から l 1 に下ろした垂線を PQ とする.ただし, t=0 のときは Q= P とする. OQ=s とおく.

(1)  OBA の大きさを求めよ.

(2)  s t を用いて表せ.

(3) 線分 PQ の長さを t を用いて表せ.

(4) 曲線 C 2 直線 l1 l2 で囲まれた部分を,直線 l 1 の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

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【4】 四面体 ABCD

(ⅰ)  BA=66 BC=7 BD= 65

(ⅱ)  BA BC = 28 BC BD =35 BD BA =40

を満たす.頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AH とする.

(1) 辺 AC の長さを求めよ.

(2)  BH BC BD を用いて表せ.

(3) 線分 CH の長さを求めよ.

(4) 面 ABC を直線 AH の周りに 1 回転させるとき,面 ABC が通過する部分の体積 V を求めよ.

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