Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2015年度一覧へ
大学別一覧へ
名古屋工業大学一覧へ
2015-10483-0101
2015 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】(1) x≧1 のとき不等式 2 ⁢x> 1+log⁡ x が成り立つことを証明せよ.
(2) 関数 y =x⁢log ⁡x ( x>0 ) のグラフを曲線 C とする.定数 a に対し,曲線 C の接線で点 ( a,0 ) を通るものは何本あるか.
(3) (2)で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および曲線 x =e- 2 で囲まれた部分の面積を求めよ.
2015-10483-0102
【2】 2 つの関数
f⁡( x)= 2 2⁢x +3 , g⁡ (x) = 2⁢x+ 1-x +2
がある.
(1) 関数 g ⁡( x) の逆関数 g-1 ⁡( x) を求めよ.
(2) 合成関数 g-1 ⁡( f⁡( g⁡( x)) ) を求めよ.
(3) 実数 c が無理数であるとき, f⁡( c) は無理数であることを証明せよ.
(4) 次の条件によって定められる数列 { an } の一般項を求めよ.
a1 =g⁡ (2 ) ,a n+1 =f⁡ (a n) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
(5) (4)で定められた数列 { an } の極限 limn→ ∞a n を求めよ.
2015-10483-0103
【3】Ⅰ 次の 5 つの定積分を求めよ.(Ⅱ(4)で用いる.)
I1 = ∫0π x⁢sin ⁡x⁢d x ,I 2= ∫0π x2 ⁢cos⁡ x⁢dx , ∫0π sin2 ⁡x⁢d x
I4 =∫ 0π x⁢cos⁡ x⁢sin⁡ x⁢dx , I5 = ∫0π sin2 ⁡x⁢cos ⁡x⁢d x
Ⅱ 関数 y =sin⁡x のグラフを曲線 C とする. C 上の点 O ( 0,0 ) における接線を l1 , 点 A ( π,0 ) における接線を l 2 とする.
l1 と l 2 の交点を B ,C 上の点 P ( t,sin⁡ t) ( 0≦t≦ π ) から l 1 に下ろした垂線を PQ とする.ただし, t=0 のときは Q= P とする. OQ=s とおく.
(1) ∠OBA の大きさを求めよ.
(2) s を t を用いて表せ.
(3) 線分 PQ の長さを t を用いて表せ.
(4) 曲線 C と 2 直線 l1 ,l2 で囲まれた部分を,直線 l 1 の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
2015-10483-0104
【4】 四面体 ABCD は
(ⅰ) BA=66 , BC=7 , BD= 65
(ⅱ) BA→ ⋅BC →= 28 ,BC →⋅ BD→ =35 ,BD →⋅ BA→ =40
を満たす.頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AH とする.
(1) 辺 AC の長さを求めよ.
(2) BH→ を BC→ , BD→ を用いて表せ.
(3) 線分 CH の長さを求めよ.
(4) 面 ABC を直線 AH の周りに 1 回転させるとき,面 ABC が通過する部分の体積 V を求めよ.