2015　名古屋工業大学　機械工学科推薦MathJax

【１】　設問すべてについて解答すること．導出過程も記載すること．

　$1$辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，辺$\mathrm{OA}\text{，}$線分$\mathrm{MN}$上にそれぞれ，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとる．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=t\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\right|=s$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}$を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{LP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LQ}}$を$t\text{，}$$s$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{LP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LQ}}$の最大値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x+\sin (2x+{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})\text{（}0<x<\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を微分せよ．

(2)　極限$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+5h)-f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+h)}{h}}$を求めよ．

(3)　$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．