2015　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　直線$L$を$2x+y=4n$とする．ただし，$n$は自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　直線$m$を$x=k$（ただし$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　問(2)の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．

(5)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，問(4)で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する，次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$

【２】　図１が示すように，平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点であり，他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．媒介変数$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$を用いて，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とする．同様に，線分$\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$とする．さらに，線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする（図１参照）．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．

(3)　特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図２に示すように点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0\leqq s\leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を表せ．

(4)　問(3)において，$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．

【３】　二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ．ただし，関数$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．

(1)　$f(x)$が$2f(x)=x{f}^{\prime }(x)+6$を満たすとき，$a=0\text{，}b=3$となることを示せ．

(2)　点$(0,-1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1\text{：}y=4x-1\text{，}{L}_2\text{：}y=-4x-1$になることを示せ．

(3)　$2$本の接線$L_1\text{，}{L}_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1\text{，}{L}_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(5)　曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1\text{，}{L}_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【補足説明】設問(2)〜(5)は，設問(1)で得られた$f(x)$を用いて回答すること．

【４】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の数字が書かれた$6$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)　これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．

(2)　これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．

(3)　これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．

(4)　これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．

(5)　これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．