2015　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　関数

$y=(\cos x-\sin x+1)\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

を考える．次の問いに答えよ．

問１　$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．

問２　$y$を$t$を用いて表せ．

問３　$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$が交わっているとする．$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$とは異なる$m$上の点$\mathrm{S}$を$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$を満たすように定める．また，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{S}$を通る直線と円$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を中心に$\mathrm{T}$を$180\mathrm{°}$回転した点を${\mathrm{T}}^{\prime }$とする．

問１　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{T}}^{\prime }\text{，}\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．

問２　$\mathrm{QP}=\sqrt{10}\text{，}\mathrm{PR}=\sqrt{5}\text{，}{\mathrm{RT}}^{\prime }=1\text{，}{\mathrm{T}}^{\prime }\mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形${\mathrm{PQT}}^{\prime }\mathrm{R}$の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=x^2$を考える．$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問３　問１で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2\text{：}y=x^2-x\text{（}0<x<1\text{）}$上にあるとする．このとき，問１で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，問２で求めた内積を$s$で表せ．

問４　内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　放物線$y=x^2+ax+b$により，$xy$平面を$2$つの領域に分割する．以下の問いに答えよ．

問１　点$(-1,4)$と点$(2,8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a\text{，}b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．

問２　$a\text{，}b$が問１で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．

【５】　$n$を自然数とするとき，等式

$1\cdot (2n-1)+2\cdot (2n-3)+3\cdot (2n-5)+\cdots +(n-1)\cdot 3+n\cdot 1={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．

【６】　$xy$平面において，点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円を$C$とする．円$C$上に原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$を取り，直線$\mathrm{OP}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$x$座標が$\mathrm{Q}$と同じで，$y$座標が$\mathrm{P}$と同じである点を$\mathrm{R}$とする．

問１　点$\mathrm{P}$が円$C$上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点全体を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．

問２　問１で求めた曲線と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【７】　$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}\text{，}\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}b$（ただし，$0<a<4\text{，}0<b<4$）とする．

問１　$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問２　$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．

問３　問２の条件のもとで，$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【８】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{n(n+2)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

問１　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

問２　数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}$を求めよ．

問４　$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}$とおくとき，$|S_{2n}-S|<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【９】　$a\text{，}b$を実数とし，$b<a$とする．焦点が$(0,a)\text{，}$準線が$y=b$である放物線を$P$で表すことにする．すなわち，$\mathrm{P}$は点$(0,a)$からの距離と直線$y=b$からの距離が等しい点の軌跡である．

問１　放物線$P$の方程式を求めよ．

問２　焦点$(0,a)$を中心とする半径$a-b$の円を$C$とする．このとき，円$C$と放物線$P$の交点を求めよ．

問３　円$C$と放物線$P$で囲まれた図形のうち，放物線$P$の上側にある部分の面積を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】必答

教育科学専攻（中等），理科選修，理科専攻，自然科学コース　【３】，【４】，【５】必答

技術専攻・情報科学コース　【３】，【４】必答，【５】，【６】から１題選択．ただし，【３】問２〜問４は指定範囲外の出題だった

教育科学選修（初等）・音楽選修・音楽専攻・美術選修・美術専攻・保健体育選修・保健体育専攻・家庭選修・家庭専攻・特別支援学校教員養成課程・養護教諭養成課程　【１】，【２】必答