2015　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$a$を定数とする．$x>0$における関数

$f(x)=\log x+a{x}^2-3x$

について，曲線$y=f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$で変曲点をもつとする．

(1)　$a$を求めよ．

(2)　$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1\text{，}x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　$a<b$とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{C}$とおく．$\angle \mathrm{ACB}=60\mathrm{°}$であるとする．

(1)　$a+b=0$のとき，$a$を求めよ．

(2)　ある正の実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=-k(1,2a)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=k(1,2b)$と表されることを示せ．

(3)　$a<-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\text{，}b>{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$を示せ．

(4)　$b$を$a$を用いて表せ．

【３】　$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす定数とし，方程式

$x(1-\cos x)=\sin (x+a)$

を考える．

(1)　$n$を正の整数とするとき，上の方程式は$2n\pi <x<2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．

(2)　(1)の解を$x_n$とおく．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n-2n\pi )$を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to }{\lim }\sqrt{n}(x_n-2n\pi )$を求めよ．ただし，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$を用いてよい．

【４】(1)　さいころを$2$回投げて，出た目を順に$a\text{，}b$とおく．関数

$f(x)=ax$

について$f(b)=6$となる確率を求めよ．

(2)　さいころを$4$回投げて，出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とおく．関数

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$

について$f(d)$が素数となる確率を求めよ．

(3)　さいころを$6$回投げて，出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f$とおく．$2$つの放物線

$y=a{x}^2+bx+c\text{，}y=d{x}^2+ex+f$

がただ$1$つの共有点をもつ確率を求めよ．