2015　京都大学　前期MathJax

【１】　直線$y=px+q$が，$y=x^2-x$のグラフとは交わるが，$y=\left|x\right|+|x-1|+1$のグラフとは交わらないような$(p,q)$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

【２】　次の$2$つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．

(a)　少なくとも$2$つの内角は$90\mathrm{°}$である．

(b)　半径$1$の円が内接する．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の$4$つの辺すべてに接することをいう．

【３】　$6$個の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が右図のように長さ$1$の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを$X$とする．そのような経路がない場合は$X$を$0$とする．このとき，$n=0\text{，}2\text{，}4$について，$X=n$となる確率をと求めよ．

【４】　$xyz$空間の中で，$(0,0,1)$を中心とする半径$1$の球面$S$を考える．点$\mathrm{Q}$が$(0,0,2)$以外の$S$上の点を動くとき，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{P}(1,0,2)$の$2$点を通る直線$l$と平面$z=0$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{R}$の動く範囲を求め，図示せよ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$を正の有理数として整式

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

$g(x)=dx+c$

を考える．すべての正の整数$n$に対して${\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．

【１】　$2$つの関数$y=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})$と$y=\sin 2x$のグラフの$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし，$x=0$と$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$は領域を囲む線とは考えない．

【３】(1)　$a$を実数とするとき，$(a,0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　$a_1=1$として，$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$について，$(a_n,0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{n+1}-a_n)$を求めよ．

【４】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{PDQ}$の最大値を求めよ．

【６】　$2$つの関数を

$f_0(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}\text{，}{f}_1(x)={\displaystyle \frac{x+1}{2}}$

とおく．$x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$から始め，各$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$について，それぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$x_n=f_0(x_{n-1})$または$x_n=f_1(x_{n-1})$と定める．このとき，$x_n<{\displaystyle \frac{2}{3}}$となる確率$P_n$を求めよ．