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2015-10550-0101
2015 京都工芸繊維大学 前期
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 xyz 空間の 3 点 O ( 0,0, 0) , A ( 0,0, 1) , B ( 2,4, -1 ) を考える.直線 AB 上の点 C1 , C 2 はそれぞれ次の条件を満たす.
直線 AB 上を点 C が動くとき, |OC → | は C が C1 に一致するとき最小となる.
直線 AB 上を点 C が動くとき, |AC →| | OC→ | は C が C2 に一致するとき最大になる.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) | O C2 → | の値および内積 A C1 → ⋅O C1 → の値を求めよ.
(2) | A C2 → | | O C2 → | の値および内積 OA→ ⋅O C2 → の値を求めよ.
(3) 2 つの三角形 ▵ A C1 O と ▵ AO C2 は相似であることを示せ.
2015-10550-0102
【2】 e を自然対数の底とする. xy 平面上で,曲線 y =e2 ⁢x の,点 ( t,e 2⁢t ) における接線を l t とし,点 ( s,e 2⁢s ) における接線を l s とする. ls の傾きが l t の傾きの e 倍に等しいとする.
(1) lt と l s の交点の座標を t を用いて表せ.
(2) ls を, y 軸に関して対称移動して得られる直線を L とする. L と直線 x =t との交点を Pt とする. Pt の y 座標を t を用いて表せ.
(3) a を正の実数とする. t が 0 ≦t≦ a の範囲を動くとき,(2)で定めた点 Pt が描く曲線を C とする. C と x 軸および直線 x =a とで囲まれた図形の面積を求めよ.
2015-10550-0103
【3】 次の問いに答えよ.
(1) 0<x <2⁢π の範囲において,方程式 sin ⁡5⁢x =sin⁡x の解をすべて求めよ.
(2) (1)で求めた解のうちで最小のものを a とする.曲線 y =sin⁡5 ⁢x-sin ⁡x ( 0≦ x≦a ) と x 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
2015-10550-0104
【4】 次の問いに答えよ.
(1) 数列 { an } が次の条件を満たしているとき { an } の一般項を求めよ.
a1 =1 ,a n+a n+1 - 2⁢n +1n ⁢(n +1) =0 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
(2) 数列 { bn } が次の条件を満たしているとき { bn } の一般項を求めよ.
b1 =2 ,b n+b n+1 - 2⁢n +1n ⁢(n +1) =0 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )