2015　京都工芸繊維大学　前期MathJax

2015-10550-0101

2015　京都工芸繊維大学　前期

配点25%

易□　並□　難□

【１】　 $x y z$ 空間の $3$ 点 $O (0, 0, 0) ，$ $A (0, 0, 1) ，$ $B (2, 4, - 1)$ を考える．直線 $AB$ 上の点 $C_{1} ，$ $C_{2}$ はそれぞれ次の条件を満たす．

直線 $AB$ 上を点 $C$ が動くとき， $| \vec{OC} |$ は $C$ が $C_{1}$ に一致するとき最小となる．

直線 $AB$ 上を点 $C$ が動くとき， $\frac{| \vec{AC} |}{| \vec{OC} |}$ は $C$ が $C_{2}$ に一致するとき最大になる．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $| \vec{O C_{2}} |$ の値および内積 $\vec{A C_{1}} \cdot \vec{O C_{1}}$ の値を求めよ．

(2)　 $\frac{| \vec{A C_{2}} |}{| \vec{O C_{2}} |}$ の値および内積 $\vec{OA} \cdot \vec{O C_{2}}$ の値を求めよ．

(3)　 $2$ つの三角形 $▵ A C_{1} O$ と $▵ AO C_{2}$ は相似であることを示せ．

2015-10550-0102

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配点25%

易□　並□　難□

【２】　 $e$ を自然対数の底とする． $x y$ 平面上で，曲線 $y = e^{2 x}$ の，点 $(t, e^{2 t})$ における接線を $l_{t}$ とし，点 $(s, e^{2 s})$ における接線を $l_{s}$ とする． $l_{s}$ の傾きが $l_{t}$ の傾きの $e$ 倍に等しいとする．

(1)　 $l_{t}$ と $l_{s}$ の交点の座標を $t$ を用いて表せ．

(2)　 $l_{s}$ を， $y$ 軸に関して対称移動して得られる直線を $L$ とする． $L$ と直線 $x = t$ との交点を $P_{t}$ とする． $P_{t}$ の $y$ 座標を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $a$ を正の実数とする． $t$ が $0 ≦ t ≦ a$ の範囲を動くとき，(2)で定めた点 $P_{t}$ が描く曲線を $C$ とする． $C$ と $x$ 軸および直線 $x = a$ とで囲まれた図形の面積を求めよ．

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配点25%

易□　並□　難□

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　 $0 < x < 2 π$ の範囲において，方程式 $\sin 5 x = \sin x$ の解をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた解のうちで最小のものを $a$ とする．曲線 $y = \sin 5 x - \sin x （ 0 ≦ x ≦ a ）$ と $x$ 軸で囲まれた図形を， $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積を求めよ．

2015-10550-0104

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配点25%

易□　並□　難□

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　数列 ${a_{n}}$ が次の条件を満たしているとき ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

$a_{1} = 1 ， a_{n} + a_{n + 1} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = 0 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

(2)　数列 ${b_{n}}$ が次の条件を満たしているとき ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

$b_{1} = 2 ， b_{n} + b_{n + 1} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = 0 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

2015 京都工芸繊維大学 前期MathJax

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