2015　大阪大学　前期MathJax

【１】　実数$x\text{，}y$が$\left|x\right|\leqq 1$と$\left|y\right|\leqq 1$を満たすとき，不等式

$0\leqq x^2+y^2-2x^2{y}^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\leqq 1$

が成り立つことを示せ．

【２】　直線$l\text{：}y=kx+m\text{（}k>0\text{）}$が円$C_1\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2=1$と放物線$C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$と$m$を求めよ．

(2)　直線$l$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　平面上に長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を除く$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$となるように線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$をとる．また，直線$\mathrm{PQ}$と円$C$の交点のうち，$\mathrm{P}$でない方を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{AQR}$の面積を$\theta =\angle \mathrm{PAB}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$を動かして$▵\mathrm{AQR}$の面積が最大になるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表せ．

【１】　自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \frac{x}{n(1+x)}}\log (1+{\displaystyle \frac{x}{n}})\text{（}x\geqq 0\text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^n}{f}_n(x)dx\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}\log (1+x)dx$を示せ．

(2)　数列$\{I_n\}$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^n}{f}_n(x)dx$

で定める．$0\leqq x\leqq 1$のとき$\log (1+x)\leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることを用いてよい．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{2}$と$\sqrt[3]{3}$が無理数であることを示せ．

(2)　$p\text{，}q\text{，}\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q$がすべて有理数であるとする．そのとき，$p=q=0$であることを示せ．

【４】　座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は時刻$0$において，原点を出発する．$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に，$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に，ともに速さ$1$で動く．その後，ともに時刻$1$で停止する．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A\text{，}B$とし，空間で$x\geqq -1$の部分を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　時刻$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$における立体$(A\cup B)\cap C$の体積$V(t)$を求めよ．

(2)　$V(t)$の最大値を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の整数とする．正方形の形に並んだ$n\times n$のマスに$0$または$1$のいずれかの数字を入れる．マスは上から第$1$行，第$2$行，$\cdots \text{，}$左から第$1$列，第$2$列，$\cdots \text{，}$と数える．数字の入れ方についての次の条件$p$を考える．

条件$p$：$1$から$n-1$までのどの整数$i\text{，}j$についても，第$i$行，第$i+1$行と第$j$列，第$j+1$列とが作る$2\times 2$の$4$個のマスには$0$と$1$が$2$つずつ入る．

(1)　条件$p$を満たすとき，第$n$行と第$n$列の少なくとも一方には$0$と$1$が交互に現れることを示せ．

(2)　条件$p$を満たすような数字の入れ方の総数$a_n$を求めよ．