2015　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　実数$x\text{，}y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式

$x^2+y^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

(2)　実数$x\text{，}y\text{，}z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式

$x^2+y^2+z^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$

が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

(3)　$n$は自然数とする．実数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式

${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$

が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

【２】　$xy$平面において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\text{，}$$\overrightarrow{b}=(x,y)$に対して，

$|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|\geqq 1$かつ$\left|\overrightarrow{b}\right|\leqq 1$

を満たす点$(x,y)$の領域を$D$とする．ただし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積，$\left|\overrightarrow{b}\right|$はベクトル$\overrightarrow{b}$の長さを表す．以下の問に答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$は$0<a<b$を満たす定数とし，関数$y=\log x$のグラフを$G$とする．点$\mathrm{C}$が曲線$G$上を点$\mathrm{A}(a,\log a)$から点$\mathrm{B}(b,\log b)$まで動くとき，点$\mathrm{C}$から$x$軸への垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$の長さの最大値を$L$とする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．

(1)　不等式

$a<{\displaystyle \frac{b-a}{\log b-\log a}}<b$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$h={\displaystyle \frac{b}{a}}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．

(3)　実数$p\text{，}q\text{，}r$が$a<p<b\text{，}a<q<b\text{，}a<r<b$を満たすとき，不等式

${\displaystyle \frac{p+q+r}{3}}<e^L\sqrt[3]{pqr}$

が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}$について，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．

(1)　$f(x)$が極値をとる$x$の値はただ$1$つであることを示し，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$x$の値を$c$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸と直線$x=c$で囲まれた部分を$D$で表す．$D$の面積を求めよ．

(3)　(2)で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．