2015　神戸大学　前期MathJax

(1)　$s$と$t$の間の関係式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}(u,v)$とする．$u$と$v$の間の関係式を求めよ．

(3)　$s\text{，}t$が変化するとき，$v$の最小値と，そのときの$u\text{，}s\text{，}t$の値を求めよ．

$x(a_{n+1}x+b_{n+1})={\displaystyle {\int }_{c_n}^{x+c_n}}(a_{n}t+b_n)dt$

をみたすとする．以下の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$c_n=3^{n-1}$のとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$c_n=n$のとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(＊)　$3$辺の長さが$a\text{，}b\text{，}c$である三角形と，$3$辺の長さが${\displaystyle \frac{1}{a}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{b}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{c}}$である三角形が両方とも存在する．

以下の問に答えよ．

(1)　$a=b>c$であり，かつ条件(＊)をみたす$a\text{，}b\text{，}c$の組の個数を求めよ．

(2)　$a>b>c$であり，かつ条件(＊)をみたす$a\text{，}b\text{，}c$の組の個数を求めよ．

(3)　条件(＊)をみたす$a\text{，}b\text{，}c$の組の個数を求めよ．

(1)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$の交点をすべて求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$の概形をかき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta )$とする．このとき，$0<\theta <\pi$における$f(\theta )$の最大値を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta )$とする．このとき，$0<\theta <\pi$における$g(\theta )$の最小値を求めよ．

$y=x^4-2(a+1)x^3+3a{x}^2$

で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．線分${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の中点の$x$座標を求めよ．

(1)　$x_k={\displaystyle \frac{p}{k}}+{\displaystyle \frac{q}{k+1}}+{\displaystyle \frac{r}{k+3}}$がすべての自然数$k$について成り立つような実数$p\text{，}q\text{，}r$を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$b=0$のとき，$3$以上の自然数$n$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k$を求めよ．また，$a=0$のとき，$4$以上の自然数$n$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{x}_k$の和を求めよ．