2015　神戸大学　後期MathJax

(1)　関数$f(x)$が$x=a$で微分可能であることの定義を述べよ．

(2)　関数$f(x)=|x^2-1|e^{-x}$は$x=1$で微分可能でないことを示せ．

(3)　関数$f(x)=|x^2-1|e^{-x}$の極値と，極値をとるときの$x$の値を求めよ．

(1)　自然数$k$に対し，$0\leqq {\left|x\right|}^m\leqq k$をみたす整数$x$の個数$N_k$は

$2k^{\frac{1}{m}}-1\leqq N_k\leqq 2k^{\frac{1}{m}}+1$

をみたすことを示せ．

(2)　$|S_n-1-2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^{\frac{1}{m}}|\leqq n$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^{1+\frac{1}{m}}}}$を求めよ．

$\begin{array}{ll}{C}_1\text{：}{x}^2+y^2=1& \text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}\\ C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+3y^2=1& \text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}\\ C_3\text{：}{x}^2+y^2=3& \text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}\end{array}$

で定める．$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$C_3$との交点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と$C_1$の交点を$\mathrm{R}$とする．直線$\mathrm{OP}$と$C_3$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\mathrm{S}$を通り$x$軸に垂直な直線と$C_2$との交点を$\mathrm{T}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{RT}$は$C_1$に接することを示せ．

(2)　直線$\mathrm{RT}$は$C_2$に接することを示せ．

(3)　直線$\mathrm{RT}$と$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^x}{\{f(t)\}}^{2}dt+{\displaystyle {\int }_0^x}\cos (f(t))dt={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+b\text{（}x>0\text{）}$

が成り立っているとする．以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　関数$g(t)=t^2-1+\cos t$は，区間$t\geqq 0$で増加することを示せ．

(3)　正の実数$x$に対して，$y^2-1+\cos y=x$となる正の実数$y$がただ$1$つ存在することを示せ．また，$x=4{\pi }^2$のときに，$y^2-1+\cos y=x$となる正の実数$y$の値を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{4{\pi }^2}}f(x)dx$を求めよ．

(1)　$X=\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$に対し，「点$\mathrm{X}$が出す辺」とは，$\mathrm{X}$と他の$4$点のどれかとを結ぶ辺のこととする．$10$本の辺のうち$4$本を消したとする．このとき，出す辺が$3$本以上あるような点が，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の中に少なくとも$1$つあることを示せ．

(2)　三角形が$1$個も残らないような，$4$本の辺の消し方は何通りか．

(3)　$1$個の三角形$\mathrm{ABC}$だけが残り，他の$9$個の三角形は残らないような，$4$本の辺の消し方は何通りか．

(4)　ちょうど$1$個の三角形だけが残るような，$4$本の辺の消し方は何通りか．