2015　島根大学　前期MathJax

2015-10681-0101

数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2015　島根大学　前期

教育，生物資源科，総合理工（数理・情報除く）学部

易□　並□　難□

2015年島根大前期教育，生物資源科学部【１】2015106810101の図

【１】　右図のように，南北に $7$ 本，東西に $6$ 本の道がある．ただし， $C$ 地点は通れないものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $O$ 地点を出発し， $A$ 地点を通り， $P$ 地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．

(2)　 $O$ 地点を出発し， $B$ 地点を通り， $P$ 地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．

(3)　 $O$ 地点を出発し， $A$ 地点と $B$ 地点の両方を通り， $P$ 地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．

2015-10681-0102

2015　島根大学　前期

教育，生物資源科，総合理工（数理・情報除く）学部

易□　並□　難□

【２】　 $a$ を実数とし，関数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 2^{n - 1} + a$ を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ の最小値が $- 2$ となるとき， $a$ の値を求めよ．

(2)　方程式 $f (x)$ が実数解をもつとき， $a$ の値の範囲を求めよ．

2015-10681-0103

2015　島根大学　前期

教育，生物資源科学部

易□　並□　難□

【３】　 $a ， b ， c$ を実数とし，関数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ を考える．

$I = \int_{0}^{1} {f^{'} (x)}^{2} d x$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $I$ を $a$ と $b$ を用いて表せ．

(2)　 $θ$ を $0 ≦ θ < π$ をみたす実数とする． $a = \cos θ ， b = \sin θ$ のとき， $I$ を $\cos 2 θ$ と $\sin 2 θ$ を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた $I$ の最大値，最小値を求めよ．

2015-10681-0104

2015　島根大学　前期

総合理工（数理・情報除く）学部

易□　並□　難□

【３】　次の問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(1)　 $x > 0$ のとき，不等式 $1 + x < e^{x}$ を示せ．

(2)　極限値 $\lim_{n \to \infty} n e^{- n^{2}}$ を求めよ．

(3)　極限値 $\lim_{n \to \infty} \int_{- n}^{n} (2 x^{2} - 1) e^{- x^{2}} d x$ を求めよ．

2015-10681-0105

2015　島根大学　前期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【１】　 $n$ を自然数とする．下図のように，同じ大きさの正方形のマスが $2^{n}$ 個描かれた透明なシート $K_{n}$ を使って次のゲームを行う．

まず， $1$ から $2^{n}$ までの自然数の中から無作為に一つ選ぶ試行を $2$ 回行い， $1$ 回目に選ばれた自然数を $x_{1} ， 2$ 回目に選ばれた自然数を $x_{2}$ とする（ $x_{1} = x_{2}$ となることもある）．このとき， $K_{n}$ の左から $x_{1}$ 個目のマスに○を記入し，左から $x_{2}$ 個目のマスに×を記入する．次に，このシートを中央の線（左右のマスの数が等しくなるような縦の線）で折り畳むという操作を繰り返し行い，○が書かれたマスと×が書かれたマスが重なったときゲームを終了する．ゲームが $k$ 回の操作で終了したとき，得点を $k$ とする．例えば， $n = 3 ， x_{1} = 2 ， x_{2} = 6$ のとき，下図のようになり，得点は $2$ となる．

ただし，○，×が初めから同じマスにある場合は得点を $0$ とする．以上のゲームにおいて $k$ 点を得る確率を $p (n, k)$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $p (n, 1)$ を求めよ．また， $n ≧ 2$ のとき， $p (n, 2)$ を求めよ．

(2)　 $2 ≦ k ≦ n$ のとき， $p (n, k)$ を $p (n - 1, k - 1)$ を用いて表せ．

(3)　 $1 ≦ k ≦ n$ のとき， $p (n, k)$ を求めよ．

2015-10681-0106

2015　島根大学　前期

総合理工（数理・情報システム学科学部

易□　並□　難□

【２】　 $t$ を $0 < t < 1$ をみたす実数とする． $x y$ 平面上の $3$ 点 $A (- 1, 1) ， B (0, - 1) ， C (1, 1)$ に対し，線分 $AB$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $P$ とし，線分 $BC$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $Q$ とする．さらに，線分 $PQ$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $R$ とし，点 $P$ と点 $Q$ を通る直線を $l$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点 $R$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(2)　直線 $l$ が曲線 $y = x^{2}$ の点 $R$ における接線であることを示せ．

(3)　 $t$ が条件 $0 < t < 1$ をみたしながら変化するとき，直線 $l$ が通過する領域を図示せよ．

2015-10681-0107

2015　島根大学　前期

総合理工（数理・情報システム学科），医（医学科）学部

易□　並□　難□

【３】　 $x y$ 平面上に原点 $O$ と $2$ 点 $A ， B$ がある． $\vec{OA}$ の大きさを $3 ， \vec{OB}$ の大きさを $4$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角が $\frac{2 π}{3}$ であるとき， $\vec{OA} + 2 \vec{OB}$ の大きさを求めよ．

(2)　 $α$ が $0 < α < \frac{π}{2}$ の範囲にあり， $\sin α = \frac{1}{4}$ をみたすとする． $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角が $4 α$ であるとき， $▵ OAB$ の面積を求めよ．

(3)　点 $E (1, 0)$ に対し， $4 \vec{OA} + 3 \vec{OB} - 12 \vec{OE} = \vec{0}$ が成り立つとき， $\vec{OA} ， \vec{OB}$ を求めよ．

2015-10681-0108

2015　島根大学　前期

総合理工（数理・情報システム学科），医（医学科）学部

易□　並□　難□

【４】　 $f (x) = x e^{x}$ とするとき，次の問いに答えよ．ただし $e$ は自然対数の底とし， $2 < e < 3 ， \lim_{x \to \infty} x e^{- x} = 0$ であることは用いてよい．

(1)　関数 $y = f (x)$ の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　曲線 $y = f (x)$ と直線 $x = - 1 ， x = 1$ および $x$ 軸で囲まれた $2$ つの部分の面積の和を求めよ．

(3)　 $t$ を実数とし，数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = f (t) a_{n} + 1 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定める． $t ≦ \frac{1}{2}$ ならば， ${a_{n}}$ は収束することを示せ．

2015-10681-0109

2015　島根大学　前期

総合理工（数理・情報システム学科），医（医学科）学部

易□　並□　難□

【５】　 $x y$ 平面において，点 $P (x, y)$ と点 $(2, 0)$ の距離が，点 $P$ と直線 $x = 1$ の距離の $\sqrt{2}$ 倍と等しくなるような点 $P$ の描く曲線を $C$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線 $C$ の方程式を求めよ．

(2)　 $t$ を $0$ でない実数とし，曲線 $C$ と直線 $x + y = t$ との交点を $Q$ とする．点 $Q$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた点 $Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線を $QH$ とする． $t$ が $2 ≦ t ≦ 4$ の範囲を動くとき，線分 $QH$ が通過してできる図形の面積を求めよ．