2015　島根大学　後期総合理工学部MathJax

出た目が$1$または$2$であれば，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$動く．

出た目が$3$であれば，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の向きに$1$動く．

出た目が$4$または$5$であれば，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$動く．

出た目が$6$であれば，点$\mathrm{P}$は$y$軸の負の向きに$1$動く．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　サイコロを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(2,-1)$にある確率を求めよ．

(2)　サイコロを$6$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_{n-1}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{b}_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{a}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

$n$が自然数のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_6$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_{n+1}$を$a_n$と$a_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$a_{n+6}=a_n$が成り立つことを示せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{a}_k$を求めよ．

${\mathrm{A}}_n(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}t}{2^n}},{\displaystyle \frac{1}{2^n}},{\displaystyle \frac{1}{2^n}})\text{，}{\mathrm{B}}_n({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^n}},{\displaystyle \frac{t}{2^n}},{\displaystyle \frac{t}{2^n}})\text{，}{\mathrm{C}}_n(0,{\displaystyle \frac{3\cdot 2^n}{\sqrt{2}t}},-{\displaystyle \frac{3\cdot 2^n}{\sqrt{2}t}})$

とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は座標空間の原点を表す．

(1)　内積$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_n}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_n}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_n}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OC}}_n}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_n}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OC}}_n}$をそれぞれ求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の体積を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた体積が最小となる$t$の値と，その最小値$V_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$の値を求めよ．

(1)　$f(x)=x^2-x-\log x$とする．関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．なお，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることは用いてよい．

(2)　$g(x)=x^2-x\text{，}h(x)=\log x$とする．このとき，曲線$y=f(x)\text{，}y=h(x)$はただ一つの共有点を持つことを示せ．また，その点での曲線$y=g(x)\text{，}y=h(x)$の接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=h(x)$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{e}},-1)$と原点$\mathrm{O}(0,0)$を結ぶ直線を$l$とする．このとき，$x\geqq 0$の範囲で，曲線$y=g(x)\text{，}y=h(x)$および直線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．