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2015-10681-0401
2015 島根大学 推薦I総合理工(数理・情報システム)学部数理
易□ 並□ 難□
【1】 d を 754 と 2366 の最大公約数とする.次の問いに答えよ.
(1) d を求めよ.
(2) 不定方程式 754 ⁢x+2366 ⁢y=d を満たす整数 x , y の組を 1 つ求めよ.
(3) 不定方程式 754 ⁢x+2366 ⁢y= d2 を満たす整数 x , y の組は存在しないことを示せ.
2015-10681-0402
【2】 ▵OAB において,次の式を満たす点 P の存在範囲を求めよ.
OP→ =s⁢ OA→ +t⁢OB → ,1≦ 2⁢s+ t≦3 ,s≧ 0, t≧0
2015-10681-0403
【3】 次の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x )=2 ⁢x2 ⁢log⁡x -x2 の増減と凹凸を調べ,グラフの概形を描け.ただし limx→ +0x ⁢log⁡x =0 であることは用いてよい.
(2) 点 ( e,e2 ) における曲線 y =f⁡( x) の接線 l の方程式を求めよ.
(3) 曲線 y =f⁡( x) と直線 l , および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2015-10681-0404
【4】 次の問いに答えよ.
(1) 関数 g ⁡(x )=x を定義にしたがって微分せよ.
関数 f ⁡(x ) は f ⁡(x +y) =f⁡( x)⁢ f⁡( y) ( x , y は任意の実数)を満たし,かつ定数でないとする.以下,関数 f ⁡(x ) についての問いに答えよ.
(2) f⁡( 0) の値を求めよ.
(3) 任意の自然数 n に対して f ⁡(n ⁢x) =f⁡ (x) n であることを数学的帰納法を用いて示せ.
(4) f⁡( x) が x =0 において微分可能で f ′⁡( 0)= 1 ならば, f⁡( x) はすべての点で微分可能で, f′⁡ (x) =f⁡( x) が成り立つことを示せ.