2015　広島大学　AO入試教育学部MathJax

【１】　関数$f(x)$はすべての実数$x$で定義されており，すべての$x$で微分可能であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　平均値の定理を用いて，すべての$x$に対して$f^{\prime }(x)=0$であるならば$f(x)$は定数関数であることを証明せよ．

(2)　すべての$x$に対して$(e^{-x}f(x))\prime$であることの必要十分条件は，すべての$x$に対して$f^{\prime }(x)=f(x)$であることを証明せよ．

(3)　すべての$x$に対して$f^{\prime }(x)=f(x)$であるならば，$f(x)$は定数$c$を用いて$f(x)=c{e}^x$と書けることを証明せよ．

【２】　風船に，空気を入れて大きくする．始めの大きさを$1$とすると，$1$分後には$2\text{，}2$分後には$4\text{，}3$分後には$8$となるように，$1$分ごとに$2$倍に膨張する．風船は最初の大きさの$10$倍になったときに破裂するものとする．破裂するまでの時間を$X$として，次の問いに答えよ．

(1)　$X$を求めよ．

(2)　$X$の近似値を求めたい．$2$の累乗を計算すると，$4\text{，}16\text{，}256\text{，}65536\text{，}4294967296$となる．これらの計算結果を用いて，

${\displaystyle \frac{59}{18}}<X<{\displaystyle \frac{60}{18}}$

となることを説明せよ．

(3)　$X$は有理数か無理数か．理由をつけて判定せよ．

【３】　$1$から$9$までの数字が書かれているカードがそれぞれ$1$枚ずつあり，全部で$9$枚のカードがある．$9$枚のカードから$1$枚を無作為に取り出し数字を確認して，取り出したカードをまた元の場所に戻すという試行を行う．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$5$回続けてこの試行を行った結果，書かれた数が$7$以上のカードを$3$回取り出す確率を求めよ．

(2)　$3$回続けてこの試行を行い，$1$回目，$2$回目，$3$回目に確認したカードの数をそれぞれ$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$とするとき，$X_1+X_2+X_3=9$を満たす場合の数を求めよ．

(3)　$3$回続けてこの試行を行い，$1$回目，$2$回目，$3$回目に確認したカードの数をそれぞれ$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$とするとき，$2X_1-X_2-X_3\geqq X_1{X}_3$が成り立つ確率を求めよ．

(4)　$n$回続けてこの試行を行い，確認したカードの数の合計が偶数になる確率を$P_n$とする．$n+1$回目に数の合計が偶数になる確率$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表せ．

(5)　$P_n$を求めよ．