2015　広島大学　AO入試理学部数学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a$は有理数であるとする．このとき，$\cos x=1$かつ$\cos ax=1$を満たす実数$x$は無限にあることを証明せよ．

(2)　$a$は無理数であるとする．このとき，$\cos x=1$かつ$\cos ax=1$を満たす実数$x$は$0$のみであることを証明せよ．

(3)　恒等式

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}$

を用いて，$0\leqq x\leqq 20\pi$の範囲で$\cos x=\cos \sqrt{2}x$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線

$C\text{：}y=f(x)\text{（}-1<x<1\text{）}$

の接線で，点$\mathrm{P}(0,-4)$を通るものがちょうど$2$本あることを証明せよ．

(2)　点$\mathrm{P}(0,-4)$から(1)の曲線$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}(\alpha ,f(\alpha ))$および$\mathrm{R}(\beta ,f(\beta ))$（ただし$\alpha <\beta$）とする．線分$\mathrm{RP}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$および曲線$y=f(x)\text{（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{）}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　区間$0\leqq x\leqq 1$で定義された連続な関数$f(x)$は次の条件を満たすとする．

(ⅰ)　区間$0<x<1$において$f(x)$は微分可能であり$f^{\prime }(x)>0$である．

(ⅱ)　$f(0)=0$

(ⅲ)　$f(1)>1$

　正の整数$n$に対して，区間$0<x<1$で定義された関数

$g_n(x)=f(x){(\log f(x))}^{2n}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$g_n(x)$はただ$1$つの極大値とただ $1$つの極小値をもつことを証明し，極大値$A_n$と極小値$B_n$を求めよ．

(2)　(1)で定めた$A_n$に対し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A_{n+1}}{n^2{A}_n}}$を求めよ．

【４】　平面上の四角形$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$の値を$\gamma$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$を$\gamma$を用いて表せ．

(2)　四角形$\mathrm{OABC}$がある円$P$に内接しているとき，$\gamma$を求めよ．

(3)　(2)のとき，円$P$の半径を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$チームで，次のようなトーナメント方式で試合を行う．まず$4$チームを$2$チームずつに分け，それぞれで$1$回戦を行う．そして$1$回戦の各試合の勝者同士で決勝戦を行い，決勝戦の勝者を優勝とする．各対戦においてそれぞれのチームが勝つ確率は，右の表のようになっているとする．

たとえば，$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に勝つ確率は，それぞれ$0.5\text{，}0.3\text{，}0.8$である．

　トーナメントの組合せは以下の$3$通りがある．

(Ⅰ)　$1$回戦で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$がそれぞれ対戦する．

(Ⅱ)　$1$回戦で$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$がそれぞれ対戦する．

(Ⅲ)　$1$回戦で$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$がそれぞれ対戦する．

　以下の問いに答えよ．

(1)　トーナメントの組合せが(Ⅰ)であるとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の各チームの優勝する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{D}$が優勝する確率が他のどの$3$チームよりも高くなるトーナメントの組合せはあるか．

(3)　優勝したチームには$3$点，$1$回戦で勝って決勝戦で負けたチームには$2$点，$1$回戦で負けたチームには$1$点，という得点をつける．トーナメントの組合せが(Ⅲ)であるとき，$\mathrm{C}$の得点が$k$点となる確率を$P_k$とする．このとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^3}k{P}_k$

の値を求めよ．