2015　山口大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q\text{，}m$を実数とする．放物線$y=-x^2+2px+q$を$C$とし，その頂点は直線$y=mx-3$上にあるものとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$q$を$p\text{，}m$を用いて表しなさい．

(2)　$C$の頂点の$x$座標が$-4$のとき，$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるように，$m$の値の範囲を定めなさい．また，そのとき$C$が$x$軸から切りとる線分の長さを$m$を用いて表しなさい．

(3)　$p$の値にかかわらず，$C$と$y$軸の共有点の$y$座標が負となるように，$m$の値の範囲を定めなさい．

【２】　座標平面上で，点$\mathrm{P}(s,t)$が直線$x-2y=1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(s+|t|,|s|+t)$の軌跡を求め，図示しなさい．

【３】　$a\text{，}b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,5,9)\text{，}\mathrm{B}(3,4,8)\text{，}\mathrm{C}(2,6,7)\text{，}\mathrm{D}(a,b,12)$がある．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG}\perp \mathrm{DG}\text{，}\mathrm{BG}\perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{G}$の座標と$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(2)　$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(4)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．

【４】　分母が$3$の累乗，分子が$2$の累乗である分数の列を次のように$1$個，$2$個，$3$個，$\cdots$の群に分ける．

${\displaystyle \frac{2}{3}}\left|{\displaystyle \frac{2}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{9}}\right|{\displaystyle \frac{2}{27}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{27}}\text{，}{\displaystyle \frac{8}{27}}\left|{\displaystyle \frac{2}{81}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{81}}\text{，}{\displaystyle \frac{8}{81}}\text{，}{\displaystyle \frac{16}{81}}\right|{\displaystyle \frac{2}{243}}\text{，}\cdots$

たとえば，左から$5$番目の分数は${\displaystyle \frac{4}{27}}$であり，第$4$群の第$3$項は${\displaystyle \frac{8}{81}}$である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　左から$20$番目の分数を求めなさい．

(2)　第$n$群の初項${\displaystyle \frac{2}{3^n}}$は，左から何番目かを$n$を用いて表しなさい．

(3)　第$n$群のすべての項の和を$n$を用いて表しなさい．

(4)　第$1$群の初項${\displaystyle \frac{2}{3}}$から第$n$群の第$m$項${\displaystyle \frac{2^m}{3^n}}$までの和を$m$と$n$を用いて表しなさい．

【１】　方程式$|x^2-4x+3|=|2x-5|$を解きなさい．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l\text{，}\mathrm{AP}=m\text{，}\angle \mathrm{PAB}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$▵\mathrm{ABP}$の面積を$l\text{，}m\text{，}\alpha$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{AC}$の長さおよび$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$l\text{，}m\text{，}\alpha \text{，}\beta$を用いて表しなさい．

(3)　次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$S\geqq {\displaystyle \frac{2m^2\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}}$

【３】　曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$の概形をかきなさい．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．

【４】　半径$3\mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8\pi {\mathrm{cm}}^3$の水が入っている．この容器の水の中に半径$r\mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた．このとき右の断面図のように，鉄の球は水面と上端で接した．$r$の値を求めなさい．ただし，容器から水がこぼれることはないものとする．

【１】　曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l\text{，}\mathrm{AP}=m\text{，}\angle \mathrm{PAB}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{AC}$を$l\text{，}m\text{，}\alpha \text{，}\beta$を用いて表しなさい．

(3)　次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$S\geqq {\displaystyle \frac{2m^2\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}}$

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$S={\displaystyle \frac{2m^2\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}}$のとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}}$の値を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a\text{，}b\text{，}c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．

(2)　整数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}\cdots \text{，}{b}_{27}$とする．

(ⅰ)　積$(a_1+b_1)\cdot (a_2+b_2)\cdot (a_3+b_3)\cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{27}}{a}_k=S$とする．整数$p\text{，}q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積$(p{a}_1+q{b}_1)\cdot (p{a}_2+q{b}_2)\cdot (p{a}_3+q{b}_3)\cdot \cdots \cdot (p{a}_{27}+q{b}_{27})$は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．