2015　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとります．ただし，これらの点は頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とは異なるものとします．$▵\mathrm{ARQ}\text{，}▵\mathrm{RBP}\text{，}▵\mathrm{QPC}$の外接円を，それぞれ${\mathrm{O}}_1\text{，}{\mathrm{O}}_2\text{，}{\mathrm{O}}_3$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　円${\mathrm{O}}_1\text{，}{\mathrm{O}}_2$が$2$点で交わっているとします．これら$2$つの円が$\mathrm{R}$以外で交わる点を$\mathrm{X}$とするとき，円${\mathrm{O}}_3$も$\mathrm{X}$を通ることを証明しなさい．

(2)　円${\mathrm{O}}_1\text{，}{\mathrm{O}}_2$が接しているとき，円${\mathrm{O}}_3$は点$\mathrm{R}$を通ることを証明しなさい．

【２】　$m$を定数とし，放物線$y=x^2+mx-2m+1$を$C_1$とします．次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$を原点に関して対称移動した後，さらに$x$軸方向に$1\text{，}y$軸方向に$-m$だけ平行移動した放物線を$C_2$とするとき，放物線$C_2$の方程式を求めなさい．

(2)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$がともに，$x$軸と共有点をもつような定数$m$の値の範囲を求めなさい．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=4\text{，}\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}$とします．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$となるようにとります．ただし，点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$は頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とは異なるものとします．次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．

(3)　$\mathrm{DE}$の長さが$2\sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

(4)　四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．

【４】　方程式$29x+33y=1$について，次の問いに答えなさい．

(1)　整数解をすべて求めなさい．

(2)　整数解$x\text{，}y$のうち，$\left|{\displaystyle \frac{x}{y}}\right|$が最大となる$x\text{，}y$を求めなさい．

【５】　数直線上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，さいころを投げて偶数の目が出たときは正の方向へ$1$だけ進み，奇数の目が出たときは負の方向へ$1$だけ進むものとします．$k$回さいころを投げた後の，点$\mathrm{P}$の位置の座標を$X(k)$とするとき，次の確率を求めなさい．

(1)　$X(1)\text{，}X(2)\text{，}\cdots \text{，}X(6)$のうち最も大きな数が$3$である確率

(2)　$X(1)\text{，}X(2)\text{，}\cdots \text{，}X(6)$のうち最も大きな数が$3$以下である確率